Wiedeński artysta Kurt Hofstetter (instalacje, wideo, rzeźba) jest jednym z nierzadkich plastyków, którzy oddają matematyce więcej serca niż wielu studentów matematyki. Szczególną sympatię ma dla liczby φ (złoty podział: dziel odcinek na dwie części, proporcja całości do większego ma być ta sama co większego do mniejszego) i stał się specjalistą w konstruowaniu go. Robi to tak zręcznie, że wyszedł poza rolę laika hobbisty i stał się autorem przyczynków drukowanych... no, to stary sposób mówienia. Powiedzmy poprawniej: upowszechnianych w elektronicznym wydawnictwie Forum Geometricorum. Pisemko ma swoje plusy i nieplusy, ale nie muszę przejmować się tu całością jego sensu gdy chcę powiedzieć o cyklu pięciu uwag Hofstettera, wszystkie one: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 są w formacie pdf.

Troszeczkę to przypomina opowiadanie Woody Allena o tym jak Lord Sandwich wymyślał swój sandwich, bo pierwsze trzy konstrukcje, z lat 2002, 2003, 2004 nie w pełni zadawalały twórcę (używał linijki i cyrkla) ale usiłowanie z roku 2005 jest w istocie nie do przebicia: pięć ruchów „zardzewiałego” cyrkla i φ stoi jak żywe. Chodzi o to, że wszystkie okręgi mają ten sam promień, więc można sobie wyobrazić, że cyrkiel służy tylko do jednego typu kółka, bo zardzewiał.

Minęły jeszcze trzy lata i ten fi-entuzjasta uświadomił sobie, że za pomocą 13 ruchów owego zardzewiałego cyrkla potrafi skonstruować klasyczny symbol powiązań matematyki, sztuki i religii, regularny pentagon czyli pięciokąt. Oto jego obrazek do którego dotarł w tym roku:

Wszystko jest dość proste jeśli wiesz jak na początkowym czerwonym odcinku usytuować punkt G. To właśnie potrafił osiągnąć w swojej konstrukcji z 2005 roku. Ponieważ jego publikacja nie wyjaśnia części rachunkowej, a zabierając się do tego od złego końca można uwikłać się w niemiłych (a zbędnych) komplikacjach rachunkowych, pokażę tu na trzech ilustracjach, że w istocie G jest dobre, tylko nie wiem czemu nazywa się tu punktem G, ale może sam autor to zainteresowanym wyjaśni.

A więc jego konstrukcja jest taka: używa niebieskiego odcinka dla zakreślenia nim dwóch okręgów (czarne). Dzięki temu może go podzielić na pół i w owej połowie osadzić centrum trzeciego okręgu o tym samym promieniu (linia i okrąg zielone). A ostatnia (czerwona) linia wyznacza ów punkt, który może tu żyć bez jednoliterkowego imienia.

Nie chcę zagrzebać się w rachunkach z ułamkami, więc przyjmę, że początkowy (niebieski) odcinek mierzy 4. No i kolejny rysunek mówi co ma do powiedzenia.

A reszta to elementarz geometrii - dwa pierwiastki z 3 to wysokość trójkąta równobocznego z bokiem 4, pierwiastek z 15 pojawia się dzięki twierdzeniu Pitagorasa (pozostałe boki mierzą 4 i 1) i rachunki idą bezboleśnie.

Oczywiście dwie konstrukcje, które podałem tu kiedyś (druga z nich, jak już pisałem, nie wydaje mi się używana w podręcznikach, choć nie warto wyobrażać sobie, że jest oryginalnym przyczynkiem do zabawy) i które łatwo odnajdziesz w moich archiwach, są też dobre, ale każda z nich ma trochę odmienny cel. Celem Hofstettera było ograniczenie używanych narzędzi do absolutnego minimum i bardzo ładnie sobie z tym poradził.

PS.(21/IX, 20:22) Jurek Kocik właśnie dosyła mi uproszczenie tej konstrukcji. Mając φ trzeba jeszcze 4, a nie 8 ruchów: