Niedawno zauważyłem, że w jakiejś sieciowej rozmowie Lestat z S24 westchnął: „a teraz mam szczytne zadanie wbić 4 klasiście do głowy - sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika - takie domowe zajęcie”. Pomyślałem: jemu już tu się nie przydam, bo to było przed paru miesiącami, ale może i inni rodzice miewają ten problem? No to porysowałem trochę, bo z dzieckiem milej rysować niż liczyć. Zachęcam tylko do uprzedniego kupienia papieru w kratkę i do pozwalania dziecięciu, żeby było szybsze niż tata/mama. To dzieciom dobrze robi na cerę.

Ułamki będą rysowane jako punkty, liczniki to poziome linie, a mianowniki – pionowe. Najpierw hipotetyczny/a Jaś/Małgosia może zobaczyć, że ten sam ułamek może być napisany w nieskończenie wiele sposobów, ale tu jest oczywista regularność, wszystkie zapisy leżą na tej samej linii „skośnej”:

A gdy będziemy mieli dwa ułamki (powiedzmy, że to są 2/3 i 1/4) to wtedy je dodamy gdy się znajdą na tej samej linii pionowej. Nie da się dodać, jeśli nie spotkają się w pionie. A jak się spotkają, to dodamy wysokości czyli liczniki.

W tym przypadku linia pionowa miała numer 12 i można sobie pomyśleć, że zawsze będzie to iloczyn dwóch mianowników (bo to było 3·4) ale następny przykład pokazuje, że ułamki mogą się spotkać w pionie wcześniej:

Dodawanie w 24-tym pionie byłoby poprawne, ale uciążliwsze, nie ma potrzeby robić tego.

Skąd wiedzieć, że takie uproszczenie da się zrobić? A, tu trzeba użyć bardzo słynnej rachunkowej maszynki, jeszcze ze starożytności, zwanej oficjalnie algorytmem Euklidesa, dla przyjaciół długim dzieleniem, albo jeszcze pieszczotliwiej dzieleniem z resztą. Chodzi o to, że uproszczenie znajdzie się jeśli będzie taka liczba, która dzieli oba mianowniki (i oczywiście jest inna niż 1, bo o 1 nie warto mówić). W ostatnim przypadku była nią liczba 2:

Tak na ogół, dla mianowników nazywających się a i b szukamy największej możliwej liczby, która je dzieli, po to, żeby dostać najmniejszą możliwą liczbę, którą one jednocześnie dzielą:

Ten dzielnik D zależy od a i b i oznaczają go znaczkiem nwd(a,b) czyli „największy wspólny dzielnik a i b”. Liczba m dzielona przez te mianowniki też od nich zależy i oznaczają ją nww(a,b), co ma znaczyć „najmniejsza wspólna wielokrotność a i b”. Urok tych dwóch liczb leży w tym, że zawsze jest

D · m = a · b czyli m = ab/D .

Wygląda dość tajemniczo, ale znaczy po prostu tyle, że część wspólną obu mianowników (to znaczy: powtarzającą się w nich) można wyrzucić z ich iloczynu. I pionowa linia będzie miała numer ab/D, dużo mniejszy niż ab.

Ale jak znaleźć owo D? To też da się narysować. Powiedzmy, że nasze liczby (mianowniki jakichś ułamków, które tu nie pojawią się nawet) to 24 i 17.

Rachunek jest taki

ale popatrz na ten szkic:

Pierwsza, większa liczba służy jako podstawa, a druga jako wysokość prostokąta. No i wypełniamy go kwadratami, największymi możliwymi i na zakończenie procesu patrzymy jaki jest wymiar najmniejszego z tych kwadratów. Ten wymiar boku to jest właśnie nwd(a,b).

Co by się stało gdyby b dzieliło a? Cały prostokąt byłby rozłożony na kwadraty z bokiem a, czyli „największe” i „najmniejsze” kwadraty byłyby te same. A w przypadku a=6, b=4, mamy nwd(6,4)=2, co widzimy tutaj:

No tak, jak się powie a to trzeba mówić b... (po portugalsku mówią to: „skoro klękasz to trzeba się modlić”). A tu jest sporo gadania. Tak zwane „mnożenie rosyjskich chłopów” i sprawdzenie czy rzeczywiście algorytm Euklidesa jest najlepszy na świecie (że najstarszy, to nie ma wątpliwości), potem serie Farey i kółka Forda, a nawet takie rozkłady prostokątów na kwadraty przy robieniu ułamków ciągłych, których z nieznanych mi przyczyn nie uczą w szkole... Ale ostatnio Jurek Kocik wspominał, że robił właśnie takie rysuneczki dla ułamków ciągłych, więc może zechce napisać o tym tutaj?

Na zakończenie parę prostych uwag: szkice służą do zrozumienia procesu, nie dla wykonywania go na olbrzymich liczbach. Chodzi o to, że odwalając rachunki, czasami dość okropne, ofiara musi wierzyć, że to coś znaczy i że można to sobie wzrokowo wyobrazić. Po drugie, te rozkłady na kwadraciki są oczywiste dla każdego uczciwego specjalisty, ale z jakichś przyczyn trudne do znalezienia w szkolnych podręcznikach. Więcej powiem: podręczników widziałem już nieco i to w różnych językach, a takich szkiców – nigdy. Więc jeśli kiedykolwiek już to gdziekolwiek widziałeś – powiadom mnie. Po trzecie, nie ma copyright na pomysły w uczeniu, każdy może wziąć i używać do woli, właśnie dlatego tutaj to przedstawiam. Ale jeśli pokazujesz to dzieciom w szkole, bądź tak miły, nie mów uczniom, że sam to wymyśliłeś, przecież nic cię nie kosztuje powiedzieć: „znalazłem to na blogu andsola”...