A więc wiemy już, że asteroida, kwadrat i okrąg, mają prawie identyczny opis:

(x²)^k + (x²)^k = 1

– trzeba podstawić tu kolejno za k liczby 1/3 , 1/2 , 1.

Nasuwa się od razu pytanie: a jakie kształty dostaniemy jeśli k będzie coraz większą liczbą naturalną? Albo coraz mniejszą odwrotnością liczby naturalnej?

Spróbuję naszkicować przebieg paru takich krzywych. Parę oczywistych uwag ułatwi wykonanie tego zadania. A więc: widać, że wyrażenie nie zmienia się jeśli zastąpić x przez -x, podobnie jest z y – a ponadto można wymienić jednocześnie rolami x i y. A ponieważ każda z tych zmian może być zrobiona niezależnie od innych, i każda z nich ma oczywisty sens geometryczny (zmień kierunek biegu osi Ox; zmień kierunek biegu osi Oy, odbij krzywą w linii, która połowi kąt prosty między osiami Ox i Oy), rozumiemy, że lewa część szkicu jest symetrycznym odbiciem prawej (więc rysujmy tylko prawą część), że dolna część jest odbiciem górnej części (więc górna prawa część wystarca), i że tylko połowa tej ćwiartki szkicu jest potrzebna, bo druga połowa to jej symetryczna kopia. Innymi słowy, z 1/8 szkicu odtworzy się on w całości.

Ale jest i inne ułatwienie. Mogę mówić o nim łagodnie, że krzywa zbliżając się do prostej połowiącej ćwiartkę wykresu jest gładka (nie ma dzióbka), mogę to samo powiedzieć w brutalnym technicznym języku: funkcja jest tam różniczkowalna. Ale to jest naprawdę to samo, na przykład po angielsku smooth i differentiable to są synonimy. Więc mówmy o jej gładkim przebiegu. Czyli musi ona (jaka by nie była liczba k!) zbliżać się do owej dwusiecznej pod kątem prostym, w innym przypadku tworzyby by się dzióbki. Musi to jakoś tak wyglądać:

Lepiąc te krzywe z ich dopełnieniem ponad dwusieczną dostajemy coś takiego

a jeśli połączyć wszystkie cztery ćwiartki (Polak potrafi), dostaniemy taki obrazek z rodziną krzywych imitujących kółko, kwadrat i asteroidę. Albo krótko mówiąc: różne imitacje kółka przy zmieniającej się liczbie k.

Użycie terminu „rodzina” to matematyczna pożyczka z biologicznej taksonomii. Widać wyraźnie, że gdy k rośnie coraz bardziej te pseudo-kółka coraz bardziej upodobniają się do dużego kwadratu, a gdy k maleje, pseudo-kółko chudnie i staje się coraz trudniejsze odróżnienie go do krzyża z dwóch patyczków o tej samej długości.

Można sobie wyobrazić, że elastyczna nitka jest napięta w czterech ruchomych rogach i gdy zbliżamy coraz bardziej te rogi ku środkowi figury, kwadrat krok po kroku traci swoje pole i staje się bezpolowym krzyżem.

I co z tego?

A to zależy od tego czego szukamy. Może to służyć jako przykład nieskończenie wielu typów geometrii, w których kółka złożone z punktów równo oddalonych od jednego miejsca wcale nie wyglądają na znane kółka, które dobrze się toczą po płaszczyźnie. Może to być inspiracją dla wielu przekształceń mechanicznych. A może po prostu pokazywać zupełnie nieoczekiwany typ harmonii i jedności między tworami, które przedtem wydawałyby się zupełnie odmienne. Osiąganie nowego poziomu pojmowania ukrytej jedności form nie tylko jest ciekawsze niż wiele powieści kryminalnych ale też niezawodnie prowadzi do zupełnie konkretnych zmian w pojmowaniu rzeczywistości. I zaproponuję jako przykład parę rysunków sprzed wieku, ale część ich mówi o odkryciach dużo starszych. Chodzi mi o kopie ilustracji z dzieła „O wzroście i formie” (On Growth and Form) z 1917 roku. Autor, D'Arcy Wentworth Thompson, był bardzo szanowany ale trochę mniej czytany. Biolodzy niechętnie widzieli wezwanie do uczenia się algebry liniowej. Teraz muszą uczyć się też topologii, teorii węzłów oraz analizy matematycznej, więc jest szansa, że w wieku XXI Thompson będzie częściej czytany i rozumiany, szczególnie gdy okaże się, że projekt Genona wiele czyni, ale cudów nie czyni.

Przyszły opat Guido Grandi jeszcze jako nastolatek, na początku XVIII wieku, miał dostęp do intrygujących nowinek naukowych (a rzadko w historii tyle krzywych się uprawiało co w owym okresie) i naturalnym było, że nieco później, mając 41 lat opublikuje dzieło Flores geometrici.

Szkic po lewej dziś może nie zdumiewa, takie opisy stały się standardem, ale szkic po prawej może i teraz wiele powiedzieć, tak biologom jak i matematykom. Można odczytać go bez użycia symboli w ten sposób: między dwoma okręgami o wspólnym środku odbija się pięciokrotnie, jak od ścian, pewna krzywa. Jeśli okręgi są sobie bliskie, forma krzywej zdaje się opisem begonii. Jeśli są oddalone, wydłużone płatki przypominają zupełnie inne rośliny (oczywiście nie cannabis, która jest oparta na przedpotopowym modelu dziewięciu listków). A więc pozornie odmienne rośliny mogły wyewoluować z czegoś podobnego z powodu odmiennych czynników chemicznych i fizycznych, ale matematycznie pozostają bardzo blisko spokrewnione.

Thompson stosował takie przekształcenia w różnych sytuacjach, ta para rybek ujawnia swoje pokrewieństwo bez jakiejkolwiek chirurgicznej interwencji:

Oczywiście to jest wstęp do elementarza biologicznych użytków matematyki, ale jak na blog to chyba wystarczy. A skoro to tak biologiczny nastrój, to ukłony dla Ludzi i dla Żab.