Weź kółko z zaznaczonym na brzegu czerwonym punktem ale nie posmarowane po brzegu masłem. Wstaw je wewnątrz drugiego kółka mającego dwa razy większy promień i zacznij toczyć mniejsze w większym. Oczywiście unikanie masła ma na celu toczenie bez poślizgu. Wkrótce zauważysz, że czerwony punkt rusza się po jednym jedynym odcinku, tam i z powrotem – i ten odcinek to średnica większego kółka. Gratuluję, odkryłeś nieco zapomniane w szkole twierdzenie Kopernika. Szkoła zapomniała, inżynierowie na szczęście nie, bo ten pomysł przydaje się w różnych urządzeniach. W gruncie rzeczy to prototyp przekładania ruchu kołowego na liniowy.

Uradowany sukcesem może wstawisz twoje kółko do innego o trzykrotnie większym promieniu i tym razem ujrzysz trajektorię, która się zamyka i ma kszałt podobny do stukniętego trójkąta czyli Δ – greckiej litery delta. Dlatego ta figura ma nazwę deltoidy, czegoś podobnego do delty.

Popatrzmy co ludzie mówią o takim deltoidzie:

Ojej, coś się człowiekowi pokićkało. Tak to bywa gdy mysz sabotuje pracę głowy. Otóż autor strony (której imienia litościwie nie wspomnę) nie zauważył, że po polsku „deltoid” znaczy (niestety) coś innego niż w wielu językach. (Skąd to wzięliśmy? Może z niemieckiego: Ein Drachenviereck (in der Mathematik: Deltoid) ist ein ebenes Viereck). No i do polskiej definicji dolepił rysunek z jakiejś obcojęzycznej strony. Nawiasem, często powtarzana definicja:

Czworokąt, w którym dwa sąsiednie boki są równej długości to deltoid.

nie jest sensowna, co łatwo sobie uświadomisz bez mojego wytykania w czym jest kłopot.

Co tu zrobić z naszą krzywą? Może nie upierać się i zostawić deltoida dla latawca, a tej krzywej nadać imię żeńskie deltoidy? (Jak to często w matematyce bywa, będziemy do woli mieszać krzywą czyli brzeg płaskiej figury i samą figurę. Póki wiemy, że źle czynimy, nie przesadzający z pedantyzmem matematyk da nam rozgrzeszenie.)

Ciekawe zadanie: czy deltoida pokrywa się z figurą wyciętą przez trzy spotykające podobne szklanki (czyli przez styczne parami kółka o tym samym promieniu)? Tu widać jaki kształt te trzy kółka wycinają.


Z pewnością używając szkolnej wiedzy o trójkącie równoramiennym doliczysz się, że toczące się wewnątrz kółko jest na zewnątrz tego obszaru i jego granicy dotyka tylko w trzech punktach. Jeśli chcesz pomocy rachunkowej to proszę bardzo:

x^2/3 + y^2/3 = 1

Jeśli chcesz przebiec ścieżkę rachunkową, ten szkic (promień dużego koła to 1) mówiący o pozycji punktu po przetoczeniu się po ścieżce o długości α może być ci pomocny.

Naturalnie pojawi się pytanie: do czego te krzywe służą? O deltoidzie tyle jest materiałów w Sieci, że aż strach, ale tu też dwie różne formy są opisane tym samym słowem. Jakikolwiek zestaw słów Wankel, deltoid, Reuleaux, curves of constant width przyniesie mnóstwo ciekawych stron. Dotyczą one innej deltoidy, wypukłej i może warto tutaj zerknąć na początek by poznać jej zaskakujące własności.

Choć opatentowany w roku 1936, motor Wankla dopiero ostatnio „wchodzi w życie” a raczej wyjeżdża na szosy. Mazda ma już ponad 4 miliony samochodów używających go. W cytowanym artykule autor twierdzi, że wynalazek ten daje oszczędność 40% części motoru, więc znacznie zmiejsza jego wagę.

Deltoida, która tam się pojawia jako rotor jest otrzymana z przekroju trzech okręgów. Ale opisana tutaj też jest rotorem, zerknij na stronę encyklopedii (trzeci z kolei rysunek).

Co do asteroidy, łatwo ją napotkać bez otwierania motoru japońskiego wozu. Weźmy składane drzwi, po środku zawiasy, w jednym końcu mamy nieruchomą oś, a drugi, ruchomy koniec jeździ po szynie. O, tu mam pożyczkę z http://www.budus.pl/ :

Jeśli dolna część drzwi dotyka dywanu (którego na obrazku nie ma, ale dla eksperymentu możemy go tam wyłożyć) to prawa część drzwi wyznaczy (rzecz jasna, oś się nie rusza) wycinek koła. Natomiast lewa część wymiata na dywanie właśnie obszar kawałka asteroidy!

Tyle na temat abstracji i nieużyteczności. Dziś zrobię jeszcze jeden krok w kierunku kwadratu i krzyża. Otóż wydaje się, że taki kwadrat

niemiło jest opisać równaniami. Wygląda na to, że są potrzebne aż cztery równania i wtedy (niestety) opisują one dużo więcej niż chcemy, więc trzeba by wprowadzić jeszcze cztery warunki, ograniczające przebieg obu współrzędnych:

-1 ⩽ x,y ⩽ 1 .

Ale ktoś sprytny uprościł to wszystko do jednego jedynego wzoru:

|x| + |y| = 1 .

I mielibyśmy miłe podobieństwo ze wzorami asteroidy i zwykłego okręgu

x² + y² = 1

gdyby nie te pionowe kreski, symbole wartości bezwzględnej czyli wybijania znaku. Ale jest na to rada. Można napisać to samo w inny sposób:

|x| = (x²) ^1/2

i na pierwszy rzut oka może to wydawać się dziwnym pomysłem, ale proszę zauważyć, że w ten sposób trzy odmienne formy: asteroida, kwadrat stojący na wierzchołku oraz okrąg są opisane prawie w identyczny sposób:

(x²)^k + (x²)^k = 1

– musimy zamiast k podstawiać kolejno liczby 1/3 , 1/2 , 1 .

Do czego to nas doprowadzi? No właśnie, tu i tam ktoś ziewnął, kto inny zerknął na zegarek, więc lepiej zostawmy to na inny dzień.