Rzecz w wyprostowaniu koła (jaki odcinek ma tę długość co jego obwód) a nie w jego kwadraturze (jaki kwadrat ma tę samą powierzchnię co koło). Od kilkuset lat wiadomo, że zadanie nie jest wykonalne przy użyciu cyrkla i ekierki. Konstrukcja, która mi się nasunęła z powodu prostego ale zmyślnego zadanka Jurka nie robi rzeczy niemożliwych. Ale dzięki swej prostocie i sporej dokładności może być użyteczna w szkole przy rozmowach o trygonometrii.

Kółko będzie miało promień 1, bo lubimy mnożyć przez 1. Dzielić też.

Wygodnym będzie rozbicie kąta prostego na 20 części. Jakoś trzeba je nazwać. Słowo stopień jest już zarezerwowane (90 części w kącie prostym), gradusy też (rewolucyjne i nikomu do niczego nie potrzebne rozbicie kąta prostego na 100, jedyna jego zaleta to dwa zera, a wymyślił to Laplace), więc może użyję słowa krok? Opowiedzenie w krokach kąta w trójkącie równobocznym jest trudniejsze, ale nie ma kłopotów w konstrukcji pięciokąta: pełen kąt z 4·20 kroków dzieli się na 5 części i łuk łączący dwa sąsiednie wierzchołki pięciokąta mierzy 16 kroków. A pięciokąt łatwo wpiszemy w kółko. Nawiasem, mam wrażenie, że opisana tam konstrukcja też nie pojawia się w podręcznikach od tych zabaw.

Połowienie kąta prostego to elementarz, i daje łuk 10 kroków. Więc 6=16-10 kroków umiemy wyznaczyć na kółku biorąc pięciokąt i dwusieczną kąta prostego. A dwusieczna tego kąta wyznacza 3 kroki.

Weź dwusieczne standardowych kątów prostych (same osie dające te kąty wyrzuć) i z każdej strony ich punktów spotkania z kółkiem odłóż po półtora kroku (połowienie kąta trzech kroków to nie problem). I połącz otrzymane punkty jak pokazuje rysunek, dostaniesz zielony kwadrat.

Czy widzisz, że połowa jego boku to cosinus kąta α? Tym razem nie jest ważne, że to kąt z 10 - 1,5 = 8,5 kroków, bo do policzenia cosinusa na kalkulatorze musimy mieć „normalną miarę”. 1 krok to 4,5°, więc

8,5 kroków to 45° - 1,5·4,5° = 38,25°.

(Kiedyś to by się powiedziało 38° 15´, jedna czwarta stopnia to 15 minut.)

Rzut oka na kalkulator mówi, że

cosα ∼ 0,785317

(obetniemy rozwinięcie do sześciu cyfr). Czyli długość dwóch boków kwadratu (odpowiadająch połowie kółka) to 4 razy więcej i wynosi 3,141268. Jeśli podzielę π przez tę liczbę, dostanę 1,000103 – czyli błąd bliski 1 procenta z 1 procenta. No, taka dokładność w rysunkach z cyrklem i ekierką raczej nie jest możliwa.

A więc umiejętność zrobienia 3 kroków na kółku pozwala bardzo dobrze przybliżyć jego obwód w formie kwadratu!

Jeśli nie podobało ci się połowienie kąta 3 kroków, zauważ, że to była kosmetyka, żeby boki kwadratu było poziome i pionowe. Nie zależy ci na tym? To weź jakąkolwiej średnicę kółka, dorysuj jej prostopadłą, odłóż cztery razy kąty trzech kroków i masz kwadrat gotowy, ale pochylony:

Umiejętność zakreślenia „narożnikowego” kąta mierzącego 13,5° pozwala wykonać tę konstrukcję. A gdyby to był kwadrat naprawdę mierzący π, jaki by był kąt narożnikowy?

Równania kółka i prostych:

x² + y² = 1 , x = π/4 , y = π/4

pokazują, że

a² = π²/16 , b² = (16 - π²)/16 , c² = 2(a-b)².

Użyj twierdzenia cosinusów, dostaniesz

cosβ = (√16 - π²)·π/8 , β ∼13,5150°.

To różni się od kąta z konstrukcji o mniej niż jedną minutę...