(dokończenie)

6. Transponowanie. Wiersz czy kolumna? Oba układy danych są dobre i czasami chcemy przejść od jednego do drugiego. Takie „przewracanie” tabelki z danymi (czyli macierzy) nazywa się transpozycją i jest łatwe do uwidocznienia biorąc ją zapisaną na półprzezroczystej kartce, chwytając jej lewy górny i prawy dolny róg (odróżniasz prawe i lewe? Bo górę i dół biologia ułatwia ci odróżnić) i obracasz ją na drugą stronę. Jeśli M jest macierzą, jej transpozycję zapisuję tak: M^T. Wygodny pomysł, bo mogę używając go pisać współrzędne wektora w linii: jeśli v to kolumna wektora (macierz „dwa na jeden”) to v^T jest linią.

Aha, proste do sprawdzenia, a ważne: (MN)^T=N^TM^T. Czyli przy transponowanie iloczynu to iloczyn czynników w odwrotnej kolejności. No i jest zupełnie oczywiste, że (M^T)^T=M.

7. Forma kwadratowa. Macierze zrobiono dla zapisu przekształceń liniowych: pierwsza kolumna mówi czym się stał pierwszy wektor bazy, druga mówi o drugim (i tak dalej, jeśli nie działamy na płaszczyźnie a w przestrzeni mającej więcej wymiarów). Czyli, mówiąc technicznie, do zapisu jednorodnych wielomianów piewrszego stopnia (zmienne mnożone przez liczby, sumy takich iloczynów). Zaskakuje mile możliwość użycia ich do zgrabnego zapisania jednorodnych wielomianów drugiego stopnia (pary zmiennych mnożone przez liczby i dodane). Na czym to polega? Ano, zapiszmy twierdzenie Pitagorasa w ten sposób:

Ta macierz I po środku wygląda na coś zbędnego. Intrygujące dziwactwo, prawda? Może coś genialnego, może głupotka. Jak odróżnić? (To okazja do pokpienia z mistyków.) Prosto: jeśli mijają lata i nie widać pożytku, to głupotka. A tu pożytki aż się przepychają w kolejce.

Otóż każdą formę kwadratową (jednorodny wielomian drugiego stopnia) zapiszę w podobny sposób używając macierz i jeśli sprytnie do tego się zabiorę, to mogę wziąć macierz symetryczną: M = M^T (wiersze i kolumny są nieodróżnialne). Równanie okręgu użyło najprostrzej możliwej macierzy I. Ona tylko wygląda tak niewinnie, w gruncie rzeczy jest czymś całkiem wyrafinowanym: to macierz [u w][u w]^T iloczynów wewnętrznych, mówiących o długościach u, w i kątach między nimi. Ale to też temat na inną rozmowę.

8. Przyszła chwila na zająca. Won z cylindra: jakie przekształcenie liniowe nie psuje moich kółek? Sprawa oczywista, muszę okręcać bazę, nie rozciągać jej wektorów i nie psuć kąta prostego między jej wektorami. Załóżmy, że nie „obracamy płaszczyzny na drugą stronę”, czyli zachowana jest jej orientacja.  Jeśli r=1, długość k łuku od pierwszego wektora do punktu odpowiadającemu liczbom (x,y), mierzona  w kierunku nie-zegarowym, to KĄT i y nazywamy sinusem liczby k, y=sin(k) a x – cosinusem tej liczby, x=cos(k). Czyli obrócony pierwszy wektor stanie się (cos(k) sin(k))^T, a drugi – (-sin(k) cos(k))^T. Gdybyś nie chciał myśleć geometrycznie, ten wniosek możesz wymusić rachunkami: wstaw do szukanej macierzy M cztery zmienne a,b,c,d.

Skoro (x y)^T = M(X Y)^T, to dostaniemy (X Y)M^TIM(X Y)^T=r². Ale to ma być X²+Y²=r² (nowe współrzędne leżą na tym samym kółku), więc musi być tak, że M^TIM=I i proste rachunki dają a²+b²=1, c=-b, d=a, czyli można znaleźć taki kąt k, że a=cos(k) i b=sin(k).

Czy ja już mówiłem, że te nazwy „sinus, cosinus” to okropna bzdura, ale że błąd został popełniony 900 lat temu, to wszyscy odnoszą się do niego z szacunkiem?

9. Hiperbola. Ustaliłem dwie pineski na płaszczyźnie  i biorę takie punkty, że różnica odległości od pinesek jest taka sama. Figura ma dwa ramiona, bo zależy którą odległość od której odejmuję.

Jeśli poustawiam pineski na linii poziomej (lub pionowej), symetrycznie względem punktu ich styku, dostanę takie hiperbole:

Ich liczbowy opis (w układzie współrzędnych) jest bardzo podobny do opisu kółek:

x² - y² = r

– czerwone dostanę dla r>0, niebieskie dla r<0, każdy punkt obszaru między zielonym krzyżem leży na jednej jedynej hiperboli. Zielony krzyż ma inny opis, „zdegenerowanej” hiperboli: x² - y² = 0. Wszystko bardzo podobne do rozłożenia płaszczyzny na koncentryczne kółka.

10. Ujemne długości. Co stanie się gdy przyjmę, że drugi wektor bazy ma długość minus jeden? Proszę nie wypyszczać się, że nie wolno. A wolno wydawać za mąż córkę płacąc za to trzy krowy? To mi się wydaje dużo głupszym pomysłem, a nikt się nie oburza. Więc spoko, długość w to -1 i kropka. A równania hiperbol ładnie zapisuje się używając macierzy J, bliskiej krewnej macierzy I:

Jakie będą teraz macierze M „sztywnych ruchów”, które zapewniają, że wektor nie zmienił długości? Mały rachunek, nieomal automatyczna powtórka zrobionego uprzednio:

(X Y)M^TJM(X Y)^T=r M^TJM=J

daje podobne, ale nie tożsame z uprzednimi, wyniki: a²-b²=1, c=b, d=a i skoro poprzednie wyrażenia nazwaliśmy (kolistymi) cosinusem i sinusem, te nowe nazywamy hiperbolicznym cosinusem i sinusem.

Moment wahania: a istnieje ten zwierz? To zależy od poziomu wykształcenia. Kto zna funkcję wykładniczą z naturalną bazą e (nazwa brzydka i krótka, ale gdyby nazwa odpowiadała zasługom, to nazwa tej liczby nie mieściłaby się na jednej stronie) już spotkał się z czymś takim:

a = cosh(k) = (e^k+e^-k)/2, b = sinh(k) = (e^k-e^-k)/2

i wie, że wszystko się zgadza. Ot, cosinus i sinus, tyle, że kółko zdziwaczało.