Dla Szukajmysie

Gdyby wszystko było wprowadzane w należytym porządku, sinus i kosinus hiperboliczny pojawiłby się pod koniec rozmowy o algebrze liniowej, rozpisanej na kilkadziesiąt godzin. A jak to zrobić bez takiego porządku, ale jednak uczciwie i dużo szybciej?

Może przeskakując przez spore kawałki, mówiąc mniej więcej o co tam chodzi i obiecując, że przy innej okazji uzupełni się luki? Poważne ograniczenie, które się samo nasuwa, to opowiedzieć historię z tak małą ilością terminów technicznych jak się da. Ale czy da się? Bo funkcja jest ważnym pojęciem w matematyce – ale niejeden dostaje szczękościsku od samego brzmienia tego słowa. Cóż, słownictwo jest wybrane tak, żeby odrzucić jak najszybciej jak największą ilość osób. Chwilowo rozwiążę to unikając go i mówiąc o przekształceniu.

Rzecz dzieje się na płaszczyźnie i przedstawienie niekiedy nosi tytuł algebry liniowej. Bywa, że to nazywają geometrią analityczną. W zasadzie to jest to samo, dzięki podwójnym nazwom można dwukrotnie sprzedawać ten sam towar, a że używa się przy tym trochę różnego słownictwa, biedny klient nawet nie uświadamia sobie, że robią go w balona.

1. Współrzędne. Jak odnaleźć na płaszczyźnie jakieś miejsce? Jeśli nie dostanę punktów orientacyjnych, będę zgubiony jak misiu na pustyni. Muszę mieć co najmniej dwa ustalone punkty i umieć mierzyć od nich odległości. Kiedyś pogadamy o tym, to bardzo ciekawy i mało rozważany w szkole system odniesień. Prawie cały czas oddaje się mniej intuicyjnej idei, dwóch prostych wychodzących z jednego punktu. Tak naprawdę nie potrzebuję prostych, a dwie strzałki (czy mogę je nazwać wektorami czy też za karę za ten pomysł zostanę tu opuszczony przez czytelników?) wychodzące w odmiennych kierunkach. To znaczy: wychodząc z jednego punktu nie mogą leżeć na jednej prostej. Oczywiście posuwając się wzdłuż nich w obie strony i łącząc takie ruchy (zamiast mówić o łączeniu spacerów po nakazanych prostych będziemy mówili  o kombinacji liniowej wektorów) możemy dotrzeć do każdego punktu płaszczyzny, więc można zrozumieć czemu taki zestaw dwóch wektorów nazywamy bazą (baza jest uporządkowanym zestawem, wiem, który wektor jest pierwszy).

(Zamierzam być zwięzły i szybki i nie mogę tym razem zatrzymywać się przy najciekawszych rzeczach, jak na przykład: jak dojść do miejsca łączącego oba wektory bazy?)

W szkole rysują od razu dwa wektory równej długości i prostopadłe do siebie, tak jak ucząc polskiego zaczynali od Ala ma kota, ale oczywiście nauczyciel matematyki ma kota, bo jakiekolwiek długości (byle nie zero) i jakiekolwiek kąty między nimi (byle nie zero albo π) wiernie służą sprawie.

No dobrze, powiedzmy, żeby jechać ubitym traktem, że oba wektory mają długość 1 i tworzą prosty kąt. W miejscu, gdzie się spotykają (początek systemu współrzędnych, dla przyjaciół: wektor zero lub zero) osadzamy centra kółek. Czyli one są koncentryczne.

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że długości x,y rzutów ich punktów na linie wybranych wektorów są związane ze sobą liczbą, która zależy tylko i wyłącznie od kółka, od promienia r. Związek jest ten:

x² + y² = r²

2. Przekształcenia liniowe. Mogę płaszczyznę przekształcić na nową poddając ją różnym przemianom, składać, rozrywać tu i tam, brzydko rozciągać i w ogóle dokazywać do woli. Najmilej zajmować się tym, co jest najłatwiejsze do opisania, czyli takimi przemianami, które prostych nie wykrzywiają i z równoległoboków robią inne równoległoboki. Prostota tego wysłowienia to spore osiągnięcie algebry i ładnie też to się zapisuje. Umówmy się, że a to liczba, u, w to wektory, p to nazwa przekształcenia. Mam nadzieję, że zapis au jest dość jasny, rozciągamy czy skracamy u i stosunek długości au i u jest taki ja stosunek liczb a i 1. Pierwszy warunek, by p było liniowe tak się zapisuje:

p(au) = ap(u)

a drugi

p(u+w) = p(u) + p(w).

Sprytne i krótkie.

3. Sztywne przekształcenia. To język fizyki, nie matematyki, ale łatwiejszy do wytrzymania. Matematyk by powiedział: przekształcenia ortogonalne. Ścisłość wyrażenia wychodzi bokiem, bo straszy uczącego się. A chodzi właśnie o to, by wśród wszelkich liniowych przekształceń wyodrębnić takie, które nie zmieniają charakteru figur. Można by sobie pomyśleć, że po  przekształceniu liniowym płaszczyzny widzę ją jakby była na kartce usytuowanej nieco dziwnie w stosunku do linii oka i z moje poprzednie okręgi widzę tak:

– czyli stały się elipsami. Nie pamiętasz co to jest elipsa? Dwie pineski, sznurek umocowany nimi w dwóch punktach, naciągnij sznurek ołówkiem tak, by stał się (sznurek, nie ołówek) dwoma odcinkami. Te punkty, których sięgniesz, leżą na elipsie. Jeśli wyjściowe puntky są bliskie siebie, elipsa jest prawie nieodróżnialna od okręgu. Poszukaj w google'u historii o kołach, elipsach, psach, Pawłowach... przepraszam, Pawłowie i schizofrenii.

Nie chcę elips. Chcę, żeby okrąg został okręgiem, żeby przekształcenie nie zmieniało odległości i kątów. Żeby było sztywne.

4. Zapis przekształceń liniowych. Starczy wiedzieć co zrobiłem z pierwszym wektorem (jakie są jego nowe dwie współrzędne) i co zrobiłem z drugim. Genialny zapis „wiersz razy kolumna” upraszcza wszystko. Nie piszę nowych wektorów U, W tak:

U=au+bw , W=cu+dw,

ale tak:

czyli

i jeśli umówimy się, że ten blok z liczbami a, b, c, d oznaczę literą M i nazwę macierzą przekształcenia  (czy zmiany bazy), powiązanie baz tak zapisuję:

[U W] = [u w]M.

Połowa sztuczki polega na użyciu tych kwadratowych nawiasów, mówiących: w środku są dwa wektory bazy.

5. Zmiana bazy i współrzędnych. Powiedzmy, że wektor z zapisuję dwa razy, w nowej i w starej bazie.

Wiemy już jak zapisać powiązanie starej i nowej bazy, chcemy umieć zapisać powiązanie współrzędnych. Tutaj zwycięską sztuczką jest umiejętność zapisania „nic nie robienia” czyli macierzy I wyrażającej przekształcenie identycznościowe (takie, które nic nie zmienia):

Uwierzmy, że „przyzwoita” macierz M ma odwrotną M^-1, czyli taką, że M·M^-1=I. (Rzecz w wyznaczniku, przyzwoita macierz ma wyznacznik niezerowy, ale  o tym kiedyś.) No i robimy przygłupio wyglądające mnożenie przez 1, które jest całkiem mądre, bo uwalnia nas od okropnej ilości obliczeń:

Porównajmy te „zielone” kawałki:

Proste i tanie odkrycie: jeśli macierz M prowadzi od starej bazy do nowej, prowadzi też od nowych współrzędnych do starych. Nigdy nie zgadniesz ile studento-godzin można upchnąć w to odkrycie, jak nie ma się nic lepszego do roboty.

Jesteśmy dużo bliżej sinusa hiperbolicznego niż to sobie wyobrażasz, zrobiliśmy już pół kursu algebry liniowej. Nie da się zrobić wszystkiego w jednym kawałku nie tyle ze względu na Twoją wytrzymałość, co z powodu niemiłych uwag Bloxa, który nie lubi długich opowiadań. Więc reszta pójdzie jutro, dobrze?