PRAWDZIWYCH PRZYJACIÓŁ PARABOLI POZABIBLIJNEJ

Przepiszę tu kawałek własnego tekstu pokpiwającego
z używania armat na muchy. Tak naprawdę są to dwa
bliźniacze teksty, jeden wskazujący przypadki gdy
używa się rachunkowego narzędzia pochodnych, gdy
geometryczna przechadzka szybko rozwiązuje sprawę.
A drugi pokazuje kiedy istotnie rachunek różniczkowy
błyskawicznie prowadzi do rezultatu, a innych metod
nie ma lub są przyciężkie. Tutaj chcę przypomnieć, że
szukanie kąta nachylenia stycznej do paraboli poprzez
rachunek pochodnej graniczy z pogardą dla geometrii.

Tak parabola jak jej równanie już tu się pojawiły.

Znajdź kąt, który styczna do wykresu funkcji y=ax²
w punkcie (p,ap²) tworzy z osią x-ów.

Kiedyś uczniowie szkoły średniej znali twierdzenie,
że jeśli bierzemy styczną w punkcie (p,ap²) to
podstyczna do paraboli (odcinek od 0 do przecięcia się
stycznej z osią x-ów) mierzy p/2. Trzeba tylko użyć
symetralnej odcinka łączącego ognisko z punktem na
kierownicy, poprowadzić od kierownicy prostopadłą
aż do symetralnej (to punkt na paraboli) i zauważyć,
że symetralna dzieli (niebieski) trójkąt na dwa
przystające prostokątne trójkąty:

Potem na wartość tangensa: (ap²)/(p/2)= 2ap nakładamy
funkcję odwrotną do tangensa i dziwimy się: po co tu
pochodna?