Słowa w ordynku. Słowa w ataku i w obronie. Pomieszane. Refrakcja słów w stali i w wodzie. Odbicia słowne i zwidy. Ład i gładkość. Spazmy i erupcje. Kojący wpływ soku z passion fruit. Od rzeczy i do rzeczy. Krótko mówiąc. Ostatnie słowo. Na początku był skowyt.
Blog > Komentarze do wpisu
Parabola

Parabola jest tak prosta, że nie powinno się nazywać jej krzywą. Ale podobnie jest z kołem, a nazywania koła prostą nikt nie zniesie, więc w imię równości praw okrąg i te inne podobne rzeczy będą się nazywały krzywymi. Co jest podobnego w okręgu i paraboli? Ano, jeśli abażur ma u góry wycięcie, to kierując go ku ścianie i przekrzywiając z lekka w tę i wewtę zobaczy się raz okrąg, raz elipsę, raz parabolę...

Ach, prawie zapomniałem. Abażur musi mieć żarówkę, całe ustrojstwo ma być włączone i musi być ciemno.

Więc jeśli lekkie skrzywienie ręki wygina rys cienia abażura na ścianie z kółka na jajko a potem na  niekończącą się podstawkę do jajka, to te formy są spowinowacone. I wiedzieli o tym już ....

Tak, tak, znowu oni. I można wprowadzać te krzywe właśnie tak jak starożytni Grecy, ale po co, jeśli później nauczono się robić to dużo prościej. Więc pomyślałem: czasu marnować nie będę, prosty rysunek krzywej... tak, dobrze mówię, ale powiem inaczej: łatwy rysunek tej linii z Sieci pożyczę i wrócę do nicnierobienia. I chodzę ja, chodzę po sieciowych grafikach, a tu ciągle parabole we współrzędnych. Czy oni ocipieli? Ops, spokojnie, tu młodzież chodzi. Ale nie ma sprawy, młodzież jest dobrze wychowana i takich słów nawet nie zna. Ponadto, nie ma takiego prawa, że nie wolno pić zupy przez rurkę z talerza sąsiada. Są tacy, co sobie lubią komplikować zupy.

Prawdę mówiąc, jest parę rysunków, które radzą sobie bez współrzędnych, ale za karę faszerują szkic całą pozostałą wiedzą matematyczną autora. I pomyślcie chwilkę: jak długo byście wytrzymali z kucharką, która by wciskała pierwsze i drugie danie, deser oraz kawę  i kolację do tego samego talerza? Przecież rzygać się chce od takiej oszczędności miejsca.

Stop. Koniec mamrotania (nawet po portugalsku) co o tym myślę. Wziąłem papier śniadaniowy, długopis, ołówek, linijkę, skaner, ImageMagick, xv oraz gnuplot i zabrałem się do roboty. I już mogę pokazać jak to robić.

Masz papier śniadaniowy? To taka kalka techniczna, ale dużo tańsza. Przy składaniu go na dwoje wyraźnie widać linię złożenia, a właśnie to jest potrzebne. Nie chcesz tego zrobić, wolisz tylko oglądnąć? Wiesz, w szóstym rozdziale książki Knutha TeX. Przewodnik użytkownika jest strasznie głupie ćwiczenie, a potem autor denerwuje czytelnika:

Statystyki pokazują, że zaledwie 7,43 z każdych 10 osób, które czytają ten podręcznik odrabiają ćwiczenie jak przykazano, ale to właśnie ci ludzie najlepiej się uczą TeXa. A może się przyłączysz do nich?

On jest nudny i złośliwy, ale ma rację. Oglądając, zobaczysz moją parabolę. Gdy ją zrobisz, będzie twoja.

Kolejność będzie odwrotna do szkolnej. Zrobimy coś. Spróbujemy zrozumieć co wyszło. Opiszemy procedurę tak czytelnie jak się uda. Wprowadzimy nazwy na nowe twory.

Na kalce rysuję linię i punkt. Gdyby to był prawdziwy punkt, nie dostrzeglibyśmy go, więc nasz punkt będzie gruby. Linia prosta też.

gruby punkt i linia

Nakładam ten punkt na linię i spłaszczam kalkę. W ten sposób tworzy się linia załamania kalki. Skaner by jej nie zauważył, dlatego podczerniam ją ołówkiem. Robię to wiele razy, układając punkt w różne miejsca na linii. Im więcej, tym lepiej.

składanie papieru

Jeden obszar jest pokrzywdzony liniami załamania, drugi niepokalanie gładki. Brzeg oddzielający oba obszary jest tworem, który chcemy dostać. Tak, właśnie to nazwiemy parabolą.

Jeśli położenie na płaszczyźnie i skala nie ma dla nas znaczenia (a skala ujawnia się tylko raz: w odległości punktu od linii prostej) to jest oczywiste, że na świecie jest jedna jedyna parabola. Prawie tak samo jak to było z okręgiem. Tam tylko skale mogły być różne (miara promienia). Tu można wziąć odmienne położenie wyjściowych elementów, ale jeśli brak na płaszczyźnie punktów odniesienia i widzimy to z oddali, nie da się odróżnić dwóch paraboli.

Każda z linii załamania przyłożyła się tylko jednym jedynym punktem do robienia brzegu. W jednym punkcie styka się z brzegiem. Jest styczna do paraboli. Ale to wcale nie jest środek drogi pomiędzy początkowym punktem a miejscem gdzie go na prostej położyliśmy.

Niemiły zwrot „początkowy punkt”. Punkt zasługuje na imię własne, będzie nam poręczniej. Nazwę go M.  Jeśli myślisz, że to brzydkie imie, przezwij go na Marcina albo na co chcesz. Punkt Kasia. A skoro punkt dostał imię, linii prostej też się należy. Będzie się nazywała prosta k. Głupi pomysł, żeby mała litera oznaczała długą prostą a duża – krótki punkt? Bardzo głupi, ale nie mogę walczyć z wszystkim naraz. Muszę wybrać sobie w każdym momencie najistotniejszego przeciwnika. To tradycja, czyli święta krowa.

Pytanie: jak znajdę ten punkt obrzeża dwóch regionów gdzie wybrana styczna go dotyka?

I w tym momencie ujawnia się sens konstrukcji: region pognieciony jest bliżej prostej k, region gładki jest bliższy punku M. Brzeg jest równoodległy od k i M.

punkt kontaktu

Czy potrafisz udowodnić, że do prostej najkrótszą  drogą dochodzi się schodząc prostopadle? Wiem, że to jest oczywiste, ale czy wiesz jak to uzasadnić? Pytam, bo na 10 studentów 11,06 odpowiada łapiąc twierdzenie Pitagorasa, a to ma tyle sensu, co usuwanie laserem kożucha z mleka. Tu trzeba zauważyć że 2a < 2b, to się nazywa nierównością trójkąta (no bo mamy dwa takie same trójkąty prostokątne, które składają się w jeden równoramienny).

nierówność trójkąta

I już umiemy zdefiniować naszą granicę obszarów.

Mam na płaszczyźnie linię prostą i punkt, który nie leży na niej. Biorę wszystkie te punkty, które są w równej odległości od nich. Otrzymany zbiór
nazywam parabolą.

I jeszcze kwestia nazwisk. Imiona już mamy, M i k. Przydałyby się nazwiska. Tradycyjnie nadawana linii nazwa kierownicy wydaje się sensowna i intuicyjna, a więc (z węgierska, najpierw nazwisko) kierownica k. A punkt to ognisko M. Skąd to? A pamiętasz zabawy  z zapałkami i słońcem? Skupione w jednym miejscu promienie zapalały zapałkę niegorzej niż potarcie o chropowatą powierzchnię z fosforem. Jeśli przyjmiesz, że wolno rysować spadające ze słońca promienie na zielono, a nie na czerwono, natychmiast dojrzysz, że wszystkie one odbijają się w paraboli ( tak jak w stycznej w odpowiednim punkcie) i idą do ogniska.

promienie i ognisko

PS. (10/II/2008) Równanie jest wyprowadzone tutaj.
piątek, 01 lutego 2008, andsol-br

Polecane wpisy

  • Przenosiny

    Wszystkich moich czytelników zapraszam do odwiedzaniaMigotania słów w ich nowym lokalu , naWordpressie.Pierwszy, dzisiejszy (4 sierpnia 2016) wpis już tam stoi

  • Paskudna niespodzianka

    Z ostatniej chwili.Przy próbie komentowania na własnym blogu – a parę chwilpóźniej przy podobnej próbie dodania komentarza na blogu Kota Behemotha–

  • Żyć zgodnie z zasadami

    W domu leksykografa na obiad podają najpierw deser, potem sznycel, a nakoniec zupę.

TrackBack
TrackBack URL wpisu:
Komentarze
2008/02/01 08:17:27
Ha, *andsol* osiąga w tym wpisie mistrzostwo świata! Co nie znaczy, że w innych wpisach nie osiąga innych rzeczy ;). Ale tu – mistrzostwo świata. Mnie ujmuje szczególnie (poza niespieszną narracją, subtelnym łechtaniem Organu Ciekawości u czytelnika i – ogólnie – nastrojem radości odkrywczej) także *andsola* stosunek do języka, który widać np. w tym zdaniu:

"Jeden obszar jest pokrzywdzony liniami załamania, drugi niepokalanie gładki."

Geometria jako sztuka krzywdzenia obszarów? ;) OK, to cierpienie w dobrej sprawie.

I tak sobie myślę, że kto jeszcze nie zagłosował w kolejnym etapie konkursu na blog roku, to powienien! W symbolicznym akcie zadośćuczynienia. Niekoniecznie w celu wygrywania konkursów. Ale choćby po to, żeby pokazać temu gościowi od "otwierania układów", że są tacy, co wolą radość odkrywania rzeczy prostych a ciekawych od bycia obiektem wkrętu'n'wcisku na rzecz Kasjopean ;)
-
2008/02/01 11:12:13
Nareszcie rozumiem i dwoma kopytkami pod Nameste sie podpisuję ( i jaka szkoda, że zagłosować nie mogę!).
A do Andsola: czytając takie eleganckie, piękne wytłumaczenie, żal mi litery cztery za proszeniem ściska, żeś taki daleki w przestrzeni, bo u TAKIEGO, to bym matematykę studiować zaczęła. Hough!
-
2008/02/01 13:15:32
He, he, znam się na tych pułapkach! Ściągną andsola do Polski i tam go wcisną w pensję dwa razy dwa równe dwa i pół (po odciągnięciu podatków) i nawet na trzeci filar nie wystarczy... To ja już wolę cierpieć te brazylijskie deszcze od tygodnia...

A tak na poważnie, Kochani, Wy mi dużo, naprawdę dużo dajecie i tylko staram się czymś odwzajemnić.A że nie umiem pozować do Playboya to podnudzam o matematyce...
-
2008/02/01 13:25:29
Już dawno mówiłam, że Andsola trzeba "Sciągnąć" przymusowo do MEN. Może deportację udałoby się załatwić?Coś chyba na sumieniu ma, więc jakieś kwity by się znalazły. Ile nasze dzieci by zyskały....Ja na starośc uczę się matematyki na nowo i coraz więcej rozumiem.Zresztą nie tylko matematyki.Szkoda że mam tylko jeden głos
-
2008/02/01 13:47:03
I rzekł Jezus: "Królestwo Boże jest jak y=3x^2-6"
"Co to znaczy?" - szemrali Jego uczniowie - "To chyba jakaś parabola?!"

(przepraszam że to parabola ze współrzędnymi ;-) a artykuł super!)
-
2008/02/01 13:48:29
@Acel: już kiedyś Ci mówiłem, nie sprawdziłbym się jako urzędnik. Mam alergię na głupotę. Sugestię o naszych dzieciach przemyślę, może jakaś mała podróż w czasie...
-
2008/02/01 13:59:54
@Sz_u: łamałem sobie głowę jak wykorzystać dwuznaczność słowa w tytule, a Ty to rozwiązałeś takim sztychem. Czy to Twoje? (No, prawie jestem pewien, że tak.) Gdzieś już się pojawiło? Przecież szkoda na zagubiony w Sieci komentarz, warto by było wyciągnąć w pełnym blasku na jakiś Gościnny Występ...
-
2008/02/01 16:42:51
Nameste, dziś byłeś mi Muzą, nie krytykiem. Nawet pożałowałem, że o tym wcześniej nie pomyślałem, no ale wtedy nie byłbyś Muzą. Pomyślmy jak by to było gdyby Babilasy, zamiast Dom nad jeziorem zakładać (nawiasem, co za klasa literacka!) postanowili mieć dom blisko rzeki, a rzeka prosto by płynęła. I idzie Dorota koło domu na spacer a tu kasjopałka ląduje. Dokąd uciekać? Jeśli jest bliżej domu, to tam, bo do ich domu kasjopałka nie wejdzie. Jak bliżej rzeki, to do wody, bo nie naszą będąc, kasjopałka od wody stroni. I od wszystkiego co bio. Ale jeśli Dorota na paraboli stoi i za dużo myśleć będzie, to ją kasjopałka chwyci i w szósty wymiar uniesie. I ja mam nadzieję, że cała prawica siądzie na tej paraboli.

Więc rozumiesz, Nameste, że parabola, Krzywa, do tej batalii nie nadaje się.
-
2008/02/01 18:58:41
dziękuję. za papier śniadaniowy, za M i k, "za usuwanie laserem kożucha z mleka". Nasrój mi się zrobił taki:
ada2008.wrzuta.pl/audio/jsUWXebjhK/09_-_miroslaw_czyzykiewicz_-_w_stylu_horacego

(crtl+c, crtl+v, klik w guziczek z trojkątem) - no nie da się inaczej, albo ja nie umiem :)
-
2008/02/01 19:02:07
o! udało się :)))))))))), u niektórych to nie działa...
-
2008/02/01 19:22:18
@Szukajmysie: firefox nie grymasił, od razu złapał.To z Operą miałaś kłopot? Ona na ogół jest lepsza...

Piękna rzecz. I tyle talentów u jednej osoby. Czy jak on siedzi w naszej-klasie to go dziewczynki nie ciągną za warkocz?
-
Gość: , *.pronet.lublin.pl
2008/02/01 20:28:08
Oj, matematyka, szkoła, MEN to tzw. śliskie tematy. Nie zazdroszczę urzędnikom oświatowym tego bólu głowy, który niewątpliwie będą mieć po powrocie matematyki na maturę. Co zrobić aby zdało dostatecznie dużo dzieci? To będzie wszystko tylko nie matematyka!
A parabole (albo raczej prawie-parabole) otaczają (osaczają?) nas na co dzień: reflektory, anteny satelitarne, liny nośne mostów wiszących, tory rzutów (niezbyt szybkich) piłką itp.
en.wikipedia.org/wiki/Parabola
Szczególnie polecam na angielskiej stronie wiki kształt powierzchni rozgraniczającej dwie ciecze w wirującym naczyniu!
-
2008/02/01 20:29:41
To co powyżej z Lublina to moje...
uciekł gdzieś login
-
2008/02/01 20:55:06
@Fredf: tak, gdzie działa siła grawitacji (czyli wszędzie), pojawią się parabole. Te linie nośne nie podszywają się pod parabole? Jak są same, bez mostu, to chyba wysłannicy od cosinusa hiperbolicznego. A w jednym miejscu to wiki-en nie przemyślała dobrze kolejności działań. Jak iść od równania do ogniska to rachunki na zanudzenie dorosłego, jak od ogniska do równania, dziecko wspomagane przez tw.Pitagorasa robi śpiewająco. Może jutro napiszę te dwie czy trzy linie rachunków, dziś padało jeszcze tyle, że cały LaTeX poszedł na Macintoshe.
-
2008/02/01 21:49:34
Jak jednorodna lina (łańcuch) wisi sama to wtedy tworzy oczywiście krzywą łańcuchową, ale jak ją obciążyć ciężarem rozłożonym równomiernie wzdłuż cięciwy to wtedy jest parabolą.
Czy będzie kontynuacja tej "geometrii wykreślnej"?, Jakieś liście, loki, konchoidy?
-
2008/02/02 01:04:16
niestety, nie moje, gdzieś krążyło w sieci :-)
-
2008/02/02 02:21:42
@Fredf: oczywiście masz rację kiedy jawi się która z tych krzywych. Quand à l'avenir, ça viendra... Obiecany jest rachunek zdań i mini-wstęp do rachunku różn-całk, a ściślej, rozmowa o stycznych. Czekam ciągle na wiadomość kiedy AMM wydrukuje nam (J.Kocik i ja) historię jak zamordowaliśmy algebrę w trygonometrii i zbiorę się do opisania tu tego. Ale choć jestem maniakiem krzywych (raczej jako laik niż fachowiec), to domyślam się, że daleka wycieczka w ich świat dla wielu osób dobrej woli by była zbyt okrutnym sprawdzaniem tej dobrej woli.
-
Gość: , *.internetdsl.tpnet.pl
2008/02/02 07:12:47




fredf
2008/02/01 21:49:34
Pisze:
"Jak jednorodna lina (łańcuch) wisi sama to wtedy tworzy oczywiście krzywą łańcuchową, ale jak ją obciążyć ciężarem rozłożonym równomiernie wzdłuż cięciwy to wtedy jest parabolą."
Lepiej byłoby powiedzieć 'wzdłuż rozpiętości', czyli cięciwy łączącej punkty zawieszenia linii- nieważkiego wiotkiego sznura. Krzywa ta, jak każda, ma wiele cięciw, a tylko obciążenie wzdłuż tej przechodzącej przez punkty utwierdzenia linii spełnia ten warunek o którym Pan pisze.

Wiechu






PT KOMENTATORZY, wiedzcie: wyrzucam (prawie) wszystkie komentarze gdy link z ksywki prowadzi do działań komercjalnych. To jest blog psa ogrodnika: sam nie zarobię tu i innym nie pomogę.