Parabola jest tak prosta, że nie powinno się nazywać jej krzywą. Ale podobnie jest z kołem, a nazywania koła prostą nikt nie zniesie, więc w imię równości praw okrąg i te inne podobne rzeczy będą się nazywały krzywymi. Co jest podobnego w okręgu i paraboli? Ano, jeśli abażur ma u góry wycięcie, to kierując go ku ścianie i przekrzywiając z lekka w tę i wewtę zobaczy się raz okrąg, raz elipsę, raz parabolę...

Ach, prawie zapomniałem. Abażur musi mieć żarówkę, całe ustrojstwo ma być włączone i musi być ciemno.

Więc jeśli lekkie skrzywienie ręki wygina rys cienia abażura na ścianie z kółka na jajko a potem na  niekończącą się podstawkę do jajka, to te formy są spowinowacone. I wiedzieli o tym już ....

Tak, tak, znowu oni. I można wprowadzać te krzywe właśnie tak jak starożytni Grecy, ale po co, jeśli później nauczono się robić to dużo prościej. Więc pomyślałem: czasu marnować nie będę, prosty rysunek krzywej... tak, dobrze mówię, ale powiem inaczej: łatwy rysunek tej linii z Sieci pożyczę i wrócę do nicnierobienia. I chodzę ja, chodzę po sieciowych grafikach, a tu ciągle parabole we współrzędnych. Czy oni ocipieli? Ops, spokojnie, tu młodzież chodzi. Ale nie ma sprawy, młodzież jest dobrze wychowana i takich słów nawet nie zna. Ponadto, nie ma takiego prawa, że nie wolno pić zupy przez rurkę z talerza sąsiada. Są tacy, co sobie lubią komplikować zupy.

Prawdę mówiąc, jest parę rysunków, które radzą sobie bez współrzędnych, ale za karę faszerują szkic całą pozostałą wiedzą matematyczną autora. I pomyślcie chwilkę: jak długo byście wytrzymali z kucharką, która by wciskała pierwsze i drugie danie, deser oraz kawę  i kolację do tego samego talerza? Przecież rzygać się chce od takiej oszczędności miejsca.

Stop. Koniec mamrotania (nawet po portugalsku) co o tym myślę. Wziąłem papier śniadaniowy, długopis, ołówek, linijkę, skaner, ImageMagick, xv oraz gnuplot i zabrałem się do roboty. I już mogę pokazać jak to robić.

Masz papier śniadaniowy? To taka kalka techniczna, ale dużo tańsza. Przy składaniu go na dwoje wyraźnie widać linię złożenia, a właśnie to jest potrzebne. Nie chcesz tego zrobić, wolisz tylko oglądnąć? Wiesz, w szóstym rozdziale książki Knutha TeX. Przewodnik użytkownika jest strasznie głupie ćwiczenie, a potem autor denerwuje czytelnika:

Statystyki pokazują, że zaledwie 7,43 z każdych 10 osób, które czytają ten podręcznik odrabiają ćwiczenie jak przykazano, ale to właśnie ci ludzie najlepiej się uczą TeXa. A może się przyłączysz do nich?

On jest nudny i złośliwy, ale ma rację. Oglądając, zobaczysz moją parabolę. Gdy ją zrobisz, będzie twoja.

Kolejność będzie odwrotna do szkolnej. Zrobimy coś. Spróbujemy zrozumieć co wyszło. Opiszemy procedurę tak czytelnie jak się uda. Wprowadzimy nazwy na nowe twory.

Na kalce rysuję linię i punkt. Gdyby to był prawdziwy punkt, nie dostrzeglibyśmy go, więc nasz punkt będzie gruby. Linia prosta też.

Nakładam ten punkt na linię i spłaszczam kalkę. W ten sposób tworzy się linia załamania kalki. Skaner by jej nie zauważył, dlatego podczerniam ją ołówkiem. Robię to wiele razy, układając punkt w różne miejsca na linii. Im więcej, tym lepiej.

Jeden obszar jest pokrzywdzony liniami załamania, drugi niepokalanie gładki. Brzeg oddzielający oba obszary jest tworem, który chcemy dostać. Tak, właśnie to nazwiemy parabolą.

Jeśli położenie na płaszczyźnie i skala nie ma dla nas znaczenia (a skala ujawnia się tylko raz: w odległości punktu od linii prostej) to jest oczywiste, że na świecie jest jedna jedyna parabola. Prawie tak samo jak to było z okręgiem. Tam tylko skale mogły być różne (miara promienia). Tu można wziąć odmienne położenie wyjściowych elementów, ale jeśli brak na płaszczyźnie punktów odniesienia i widzimy to z oddali, nie da się odróżnić dwóch paraboli.

Każda z linii załamania przyłożyła się tylko jednym jedynym punktem do robienia brzegu. W jednym punkcie styka się z brzegiem. Jest styczna do paraboli. Ale to wcale nie jest środek drogi pomiędzy początkowym punktem a miejscem gdzie go na prostej położyliśmy.

Niemiły zwrot „początkowy punkt”. Punkt zasługuje na imię własne, będzie nam poręczniej. Nazwę go M.  Jeśli myślisz, że to brzydkie imie, przezwij go na Marcina albo na co chcesz. Punkt Kasia. A skoro punkt dostał imię, linii prostej też się należy. Będzie się nazywała prosta k. Głupi pomysł, żeby mała litera oznaczała długą prostą a duża – krótki punkt? Bardzo głupi, ale nie mogę walczyć z wszystkim naraz. Muszę wybrać sobie w każdym momencie najistotniejszego przeciwnika. To tradycja, czyli święta krowa.

Pytanie: jak znajdę ten punkt obrzeża dwóch regionów gdzie wybrana styczna go dotyka?

I w tym momencie ujawnia się sens konstrukcji: region pognieciony jest bliżej prostej k, region gładki jest bliższy punku M. Brzeg jest równoodległy od k i M.

Czy potrafisz udowodnić, że do prostej najkrótszą  drogą dochodzi się schodząc prostopadle? Wiem, że to jest oczywiste, ale czy wiesz jak to uzasadnić? Pytam, bo na 10 studentów 11,06 odpowiada łapiąc twierdzenie Pitagorasa, a to ma tyle sensu, co usuwanie laserem kożucha z mleka. Tu trzeba zauważyć że 2a < 2b, to się nazywa nierównością trójkąta (no bo mamy dwa takie same trójkąty prostokątne, które składają się w jeden równoramienny).

I już umiemy zdefiniować naszą granicę obszarów.

Mam na płaszczyźnie linię prostą i punkt, który nie leży na niej. Biorę wszystkie te punkty, które są w równej odległości od nich. Otrzymany zbiór nazywam parabolą.

I jeszcze kwestia nazwisk. Imiona już mamy, M i k. Przydałyby się nazwiska. Tradycyjnie nadawana linii nazwa kierownicy wydaje się sensowna i intuicyjna, a więc (z węgierska, najpierw nazwisko) kierownica k. A punkt to ognisko M. Skąd to? A pamiętasz zabawy  z zapałkami i słońcem? Skupione w jednym miejscu promienie zapalały zapałkę niegorzej niż potarcie o chropowatą powierzchnię z fosforem. Jeśli przyjmiesz, że wolno rysować spadające ze słońca promienie na zielono, a nie na czerwono, natychmiast dojrzysz, że wszystkie one odbijają się w paraboli ( tak jak w stycznej w odpowiednim punkcie) i idą do ogniska.