Czy mogę? Tylko słówko dla przypomnienia co już było i wtedy powiem czego nie było. Więc wiemy dlaczego linię nazwaliśmy kierownicą i jakiś punkt ogniskiem, wiemy że składanie papieru znaczy na nim dwa obszary, jeden z punktów bliższych kierownicy, a drugi – z tych punktów, którym bliżej do ogniska. A granica między obszarami to krzywa nazwana jeszcze w starożytności parabolą. I każda z linii utworzonych przy składaniu jest styczną do paraboli, czyli dotyka ją łagodnie, jak gdyby chciała się w nią wcielić. I nie mówiłem o tym, ale ciarki mnie przebiegają gdy oglądam szkolne szkice parabol w kształcie litery V. Przecież połówka paraboli może mi służyć jako trajektoria lądującego (ze mną w środku) samolotu, a tamte szkolne parodie paraboli to okrutne opowieści o wypadkach.

Ale nic nie mówiłem o równaniu paraboli, jeśli pominąć wyśmianie pomysłu, by w ten sposób ją wprowadzać. A żyjemy w takich czasach, że wszędzie nosimy ze sobą zegarek i układ współrzędnych, nawet gdy nam to do niczego nie jest potrzebne. I słyszę już z oddali szmer trollątek, że co ja mogę z tą moją parabolą jeśli w szkole jest zupełnie inna. Ta szkolna jest nudna, głupia i bezduszna, ale lud przyzwyczaił się do niej i chce równania. I w dodatku Wikipedia, którą Fredf w komentarzu wywołał ma takie śliczne rachunki, że nic tylko umrzeć. Nawet ogniska i kierownicy można się tam doliczyć.

Pokażę jak się dochodzi do równania za darmo. Tylko proszę zrozumieć, że na późniejsze pytania w stylu: „to już wszystko? To czemu siedziałem nad tym w szkole przez pół roku?” andsol nie odpowiada oraz w ogóle za ten żałosny stan rzeczy nie odpowiada.

Niestety Wikipedia (tak angielska jak i polska) wdają się w jakieś szamotaniny rachunkowe i domyślam się, że ma to jakiś sens rytualny, ale to nie z mojej religii.

Słówko o równaniu czegokolwiek. Powiedzmy, o równaniu księżyca. Mówię o rysunku, płaskim konturze, który opisujemy w ten sposób, że przyjmujemy jakiś system współrzędnych (czyli sformalizowany układ najstarszych w świecie odniesień „w lewo – w prawo, do przodu – do tyłu”), wybierając kierunki i jednostki, i potem mówimy: „punkt leży na obrzeżu księżyca” jeśli dwie liczby opisujące ten punkt (jego współrzędne) spełniają taką to a taką zależność. Proszę zauważyć, że nawet dla dobra dzieci i dorosłych brzydkiego słowa „funkcja” nie użyłem, bo ludzie na nie reagują wysypką. O takim sposobie definiowania różnych obiektów (mogą to być kształty) była już mowa.

Wybór wygodnego (dla paraboli) układu współrzędnych wydaje się intuicyjny. Jedną z osi powinna być jej oś symetrii (składając wzdłuż niej papier, dwa kawałki paraboli pokryją się wzajemnie) a druga powinna być równoległa do kierownicy i dać oparcie wierzchołkowi (najniższemu punktowi) paraboli. I założę się, że z rozmachu znaczna większość osób przyjęłaby jako jednostkę odległość od wierzchołka paraboli do jej ogniska i później by tego żałowala.


Oczywiście, chcemy znaleźć zależność między liczbami wyznaczającymi punkt na paraboli jeśli wiemy, że dwa niebieskie (różnej niebieskości) odcinki mają tę samą długość.

Odkrywanie, że coś wydaje się naturalne a wcale takim nie jest, stanowi bardzo ważną część pojmowania zjawisk i wcale nie zachęcam do wybrania słusznej czyli mojej jednostki. Dobrze jest wziąć swoją a potem sprawdzać jaka modyfikacja wyboru prowadzi do najprostszej (najkrótszej, najbardziej eleganckiej, nazwij ją jak chcesz) formy opisu. Ale będę udawał, że ten etap mamy już za sobą i wiemy, że najlepiej jest przyjąć, że odległość od ogniska do kierownicy wynosi 1/2. Skok nad eksperymentami rachunkowymi czyli pracą myślową dowódcy (jak to na wojsku nazywali) tłumaczy się tym, że niejeden czytelnik zniesie rachunki, o ile to nie on je wykonuje.

Chcemy dowiedzieć się jak są powiązane x i y jeśli mamy a=b. Rachunek jest śmiesznie prosty jeśli zamiast wdawać się w pierwiastki (nie, to nie jest polityczna aluzja) porównamy ich kwadraty. Napiszmy

a²=b²

Użycie kwadratów pozwala na zapomnienie o pionowych kreskach oznaczających wartość bezwzględną (bez znaku) czyli brak troski czy x jest z lewej/prawej strony osi oraz czy y jest powyżej/poniżej 1/4. Użyjmy twierdzenia Pitagorasa:

(y + 1/4)² = x² + (y – 1/4)²,

czyli
(y + 1/4)² – (y – 1/4)² = x²

a więc

y = x².

Dziś nie będziemy zajmowali się nudziarstwem co się stanie jeśli mamy równanie bardziej skomplikowane, na ogół takie:

y = Ax² + Bx + C

bo przy użyciu dobrego narzędzia (tematu innej rozmowy) to też załatwia się szybko. Narzędzie ma nazwę „użytki złożenia z funkcją liniową na dwa sposoby”.

Dziś mam dużo lepszą, a bardzo prostą zabawę: gdzie jest Wally? W roli Wally'ego występuje liczba 1.

W tej chwili każdy już przysięgnie z ręka na serduszku, że wybór odległości 1/4 od wierzchołka do kierownicy, czy do ogniska, był słuszny. Ale na tym samym oddechu powtórzy akt wiary, że liczba 1 jest najprostsza na świecie. To gdzie się ona tu podziała??

Nie wiem czy to jest bardziej śmieszne czy tragiczne, że takich pytań o paraboli w szkole nie stawia się. Tego w szczególności. Gdyby mi powiedziano: „będziesz miał do dyspozycji miesięczny ciąg godzinnych spotkań na temat paraboli, masz na to ciekawe materiały?” powiedziałbym: „dajcie mi czas na wydziobanie różnych rodzynków tu i tam i możecie wstawiać mnie do ramówki”. Owe „tu i tam” to Exercices de Géometrie par Frère Gabriel-Marie z 1912 roku, A Catalog of Special Plane Curves by J.Dennis Lawrence z 1972 roku i nieco biegania po Sieci. Ale w Szkole Inne Mają Idee.

Popatrz jakie to proste:

Biorąc takie kwadraty z obu stron ogniska widzę, że cięciwa paraboli na jego poziomie jest odcinkiem o długości 1 (here you are, Wally) a linie wychodzące z kierownicy, spod ogniska, do tych miejsc przecięcia, są styczne do paraboli. Porządek i uśmiech w świecie.

Nie dowodzi to może istnienia Inteligentnego Projektu w Kosmosie, ale wskazuje, że nie ma go w Szkole.