Uprzednie odcinki romansu z życia liczb:
liczby trójkątne oraz liczby figuralne.

Najpierw – powoli – jak żółw – ociężale,
Ruszyła – maszyna – po szynach – ospale...

(Włodzimierz Majakowski – Pieśń o Stalinie)

Że co? Że pomyliłem lokomotywę z parowozem? Racja.
To był mały sprawdzian jak stoisz w humanistyce. Moje
gratulacje, urodzony humanista. A teraz sprawdzimy coś
równie łatwego, ale z liczenia: ile jest par liter
w 23-literowym alfabecie? A czemu tak szybka zmiana
miny, z mściwie-radosnej w skisłą, hę?

Więc jak Mistrz każe, zacznijmy powoli. Masz w myśli
(skończony) zbiór i pytasz mnie ile tam jest elementów.
Nie mam pojęcia, nie jestem cyrkowym koniem. Ale jeśli
TY mi powiesz ile tam jest elementów, będę mógł ci
powiedzieć ile jest tam par, trójek, czwórek i innych
możliwych zestawów. Może lepiej nie mówić „zestawów”
a „podzbiorów”. Podzbiorów czego? No tego zbioru,
o którym myślisz.

Jest bardzo prosty symbol na te wszystkie podzbiory.
Zanim go napiszę, zastanówmy się przez chwilkę: co taki
symbol musi w sobie mieć? Na przykład, zastanawiam się
nad trójkami cyfr. Skoro cyfr jest 10 a chcę liczyć
zbiory mające 3 elementy, to ten symbol:
– musi zawierać liczbę 10 i liczbę 3,
– nie powinien być podobny do innych symboli z 3 i 10.

A więc symbol 10|3 byłby okropnie zły, bo taka pionowa
kreska ma już pewne znaczenie („4|76” znaczy: „liczba
76 jest podzielna przez 4”). Pisanie 10\3 na pewno by
przywiodło dzieci z dysleksją do dzielenia. A dzieci
bez dysleksji do odejmowania. Jest pewnien stareńki
symbol, duże C, u dołu ma mały wskaźnik 10 a u góry 3.
Kiedyś był on ukochany przez aklamację, bo uważano
go za skrót słowa „kombinacja” (oczywiście, nie
pisanego po polsku), i były jakieś dziwne definicje
tego słowa, ale dziś rozwiązujemy to prosto: mówimy
kombinacja, a myślimy podzbiór. I taki symbol jest
podobny do reprezentacji olimpijskiej, w której jest
prezes i dwóch tenisistów. Tenisiści są niezauważalni
a prezes wypina brzuch i jest bardzo ważny. Więc to
nie jest dobry symbol. Wiem, jest mnóstwo książek go
używających. Nie ma kłopotu, oddaj je na przemiał.

Prowadzone przez prawie 350 lat poszukiwania idealnej
notacji nie zakończyły się do dziś (następnym razem
opowiem jak wyglądają nowinki z ostatnich lat), ale
powszechnie używaną jest taka:

Czyli jeśli mam n elementów i chcę oznaczyć ilości
możliwych par, trójek, czwórek, piszę:

Zabawne: nie ma przyczyn, by zabronić używania notacji

oznaczającej ilość podzbiorów z jednym elementem. No,
tu nie ma wątpliwości: tyle takich podzbiorów ile
różnych elementów, czyli n. I jak mądrze to wygląda:

Prawie twierdzenie :)

Dobrze, zostawmy prześmieszki z jednoelementowych
zbiorów na potem i popatrzmy na oczywiste wyniki gdy
mamy zbiór z 3, a potem z 4 elementami.

Pewne ogólne zależności rzucają się w oczy. Nieważne
jakie jest n, oprócz już stwierdzonego banału na
temat jednoelementowych podzbiorów mamy dwie inne
proste, a użyteczne obserwacje. Zawsze w n-elementowym
zbiorze będzie jeden jedyny n-elementowy podzbiór –
tenże właśnie zbiór. Czyli zawsze jest

Po drugie, gdy n=4, mamy tyle podzbiorów z jednym co
i z trzema elementami. Nic dziwnego. Wyobraź sobie, że
wszystkie elementy stoją w rządku, twoja wyobraźnia ci
podała jaki podzbiór chcesz zmontować i podajesz
komendę: „takie to a takie elementy, krok do przodu”.
Ale „wybrać pewne” znaczy „odrzucić resztę”, czyli
zawsze gdy mamy jakiś podzbiór, mamy też dopełniający
go inny. Tyle podzbiorów (z k elementami) ile innych,
dopełniających je (z n-k elementami). A więc, możemy
nie wiedzieć jakie to liczby, ale wiemy, że są one
sobie równe:

czy ogólnie:

Coś ci to przypomina? Okrutne wzory, ułamki, rachunki
i liczenie minut do końca lekcji? Wiem, matematyki cię
uczyła... Nie, nie będę się wyrażał. Zgoda: kluczowym
momentem w tej całej zabawie jest wzór Stifela, a jeśli
pan Michael Stifel opublikował go prawie 500 lat temu,
mówiąc o tym, co on i Cardano zrozumieli w tej kwestii,
i ciągle się tego używa, to korzyści z niego nie są
banalne, prawda? Rzecz w tym, że dla UDOWODNIENIA
tej zależności nie trzeba wiedzieć jak się wyraża te
liczby wzorkami, trzeba tylko chwilkę pomyśleć. Wzór
może i wygląda nieprzyjaźnie:

ale mój listonosz to samo myśli o naszym psie. Czyste
przesądy. Pozwól, by cię ten wzór powąchał i polizał...
nie, lepiej ty to zrób.

Zacznijmy tak: mam niebieskie klocki z numerami
od 1 do n i do tego zbioru dorzucam jeszcze jeden
czerwony klocek. I zastanawiam się: ile podzbiorów
mających k+1 klocków potrafię zestawić używając ten
powiększony zbiór?

Od razu jest oczywiste, że te podzbiory są z jednej
z dwóch grupek, i te grupki są zupełnie odmienne:
albo w podzbiorze jest czerwony klocek, albo go tam
nie ma.

W pierwszym przypadku muszę wybrany czerwony
dopełnić k niebieskimi, czyli mam

możliwości.

W drugim przypadku wszystkie k+1 klocki są niebieskie,
czyli ilość podzbiorów to

Koniec, kropka. Wzór udowodniony. I dzięki niemu mamy
otwartą drogę do mechanicznego, bezmyślnego, łatwego
liczenia naszego symbolu dwumianowego:

Użyjmy go do uświadomienia sobie, że na przykład wyniki
dla piątej linii mam „za darmo” z czwartej linii, bo u dołu
sumuję liczby, które stoją u góry nad szukaną liczbą. A na
koniuszku linii dopiszę liczbę 1.

I cała nasza wiedza o ilości podzbiorów czyli wstęp do
KOMBINATORYKI (tak, to moment gdy wypada wyznać
dokąd cię prowadzę) ułożyłaby się w ładny trójkąt liczb
gdyby...

Chciałbym dopiąć pewien kompromis grecko-arabski: by
móc czytać wszystkie dane z lewej na prawo albo na
odwrót. Ale brak mi jedynek na początku każdej linii.
Inaczej mówiąc, chciałbym dla pełnej symetrii obrazka,
dla uczynienia nieodróżnialną stronę lewą od prawej,
mieć taki wzór:

Mogę zrobić ten cud w jedyny sposób: POSTANOWIĆ,
że to jest prawdą. Przyjąc taką definicję:

Co to znaczy? Ano, że zawsze mam tylko jeden pusty
zbiór (zbiór bez elementów). I zanim zaczniesz
wybrzydzać, że to nie ma sensu, popatrz jak wszystkie
nasze wyliczenia układają się pięknie w tabelkę, znaną
jako trójkąt Pascala:

Czy potrafisz wytłumaczyć sobie w jaki sposób pojawiły
się tu liczby trójkątne? I czy przypominasz sobie do
czego te rachunki służą? Wskazówka: nim Pascal zaczął
myśleć o wiecznym zbawieniu (z powodu wypadku, który
mógł skrócić jego życie) i został jansenistą, był
oddany ziemskim rozrywkom, głównie hazardowi i dla
powiększania swoich szans w grach hazardowych rozwijał
to, co nazywamy dziś...

No właśnie. Chodzi o rachunek prawdopodobieństwa. Bez
którego nie ma życia dużych populacji. Pierwszy krok
do radzenia sobie z nim to ten, który zrobiliśmy tutaj:
zawieranie przyjaźni z symbolami kombinatorycznymi.

Bo teraz nie boisz się już pytania: ile trójek różnych
elementów mogę zmontować z ośmiu cyfr? Trzeba tylko
dorobić jeszcze trzy linie w podanym tu początku
trójkąta Pascala...