Zaglądasz do biblioteki matematycznej? Mogłeś już widzieć ten rysunek, bo biblioteki zamawiają doręczanie pocztą lotniczą. Gdyby ten grudniowy numer pisemka Mathematics Magazine dotarł tu na początku grudnia, wpis o sumie liczb nieparzystych byłby uzupełniony o dwa rysunki i odniesienie do tego artykułu. Chociaż – czy wolno nazwać „artykułem” jeden szkic? Myślę, że autor tak go sklasyfikuje w swoim CV; there is a war, jak śpiewał Cohen, i o posady walczy się też rysunkiem.

Jeśli podam sformułowanie owego zadania z Olimpiady Matematycznej z Leningradu z 1989 roku (było takie miasto, był taki rok...) to wystraszę. Ale właśnie o to mi chodzi, chcę pokazać, że nie ma czego. Mówię o tym  zadaniu.

Niech liczby (dodatnie, podane w malejącym porządku) a,b,c w sumie nie przekraczają 1; pokaż, że

1∙a² + 3∙b² + 5∙c² ≤ 1

Rysunek pomaga wyprowadzić rozwiązanie z prostej obserwacji o kwadracie sumy. Weź tę tożsamość

(a+b)² = a² + 2ab + b²

i zauważ, że pomniejszając a do b dostaniesz wniosek:

Jeśli 0 < b ≤ a oraz a + b ≤ 1 to a² + 3∙b² ≤ (a+b)² ≤ 1

co widać na tym rysunku.
 

Więc teraz dla tej nierówności:

Jeśli 0 < c ≤ b ≤ a oraz a + b + c ≤ 1
to a² + 3∙b² + 5∙c² ≤ (a+b+c)² ≤ 1

wykorzystaj ten rysunek:

Rzecz jasna, potrafisz powiedzieć jaka nierówność z użyciem liczb nieparzystych 1, 3, 5, 7 pojawi się jeśli
0 < d ≤ c ≤ b ≤ a oraz a + b + c + d ≤ 1,
prawda? Kłopotem jest zapisanie tego jeśli składników będzie nie jak tu 4 lecz 2004, jak w zadaniu z roku 2004 na australijską olimpiadę matematyczną... Dlatego warto nauczyć się używać symbolu Σ dla dodawania wielu czynników. I wtedy zapisując iloczyny jako a_i∙a_j i zastępując większy czynnik mniejszym, potrafisz zapisać oczywistą ideę geometryczną w języku algebry, czyli przełożyć pomysł dowodu wizualnego na formalny.

I to była historyjka o rysunku w amerykańskie piśmie pokazującym jak Chińczyk Wei-Dong Jiang rozwiązał zadanie z rosyjskiej Olimpiady. Sprawdź na str.344, Math.Magazine, vol.80, Dec. 2007.