Wzruszyła mnie ilość i stałość pytań do google'a, przekazywanych przezeń do mnie, dotyczących małych tabliczek mnożenia. Najczęściej mniejszych niż 25. Domyślam się, że chodzi o to, by w tabliczce nie było większych liczb. Oczywiście, da się zrobić, co więcej, jest mi to po drodze, bo gdy zacznę mówić o rachunku zdań, dobrze by było gdyby zainteresowani czytali płynnie i śpiewnie różne tabliczki działań, bo ze znanych mi sposobów podawania wielu informacji mając mało miejsca, ten jest najprzyjemniejszy. (Zmniejszanie wymiaru literek jest nierzetelne.) Igraszki z małymi tabliczkami mnożenia ujawnią swój dydaktyczny sens jako przygotowawcze ćwiczenie przed mnożeniem zdań. Ale bardzo oficjalnie i serio oznajmiam, że to jest naprawdę poważny temat i kto go pozna, zyskać na tym będzie mógł.

Tyle tylko, że dla poważnej produkcji zupełnie innych a malutkich tabliczek mnożenia trzeba zmienić punkt widzenia i wiele innych rzeczy. Gdybym znał to trudne słowo to chyba bym mówił o zmianie paradygmatu. A chodzi mi o to, że nie da się zacząć od pytania „ile jest sześć razy siedem?” ale musimy zastanowić się „co to jest mnożenie?”

Jeśli chciałbym zrobić coś podobnego do arytmetyki, której uczono mnie w szkole, musiałbym wymyślić jak robi się cztery działania. Bez dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia nie miałbym tworu podobnego do znanych ze szkoły liczb wymiernych. Wybacz, wystraszyłem zwrotem „liczby wymierne”? Tak chodzi mi o ułamki, ale nie lubię mówić o „ułamkach” (czyli o dzieleniu dwóch liczb), bo (log₃8)/π to też ułamek.

Dla uniknięcia bałaganu, odróżniasz dodawanie od sumy a mnożenie od iloczynu? To taka różnica jak między smażeniem a befsztykiem.

No więc chcę mieć cztery działania i odejmowanie ma być związane z dodawaniem („odjąć” to „dodać liczbę przeciwną”) a dzielenie z mnożeniem („podzielić” to „pomnożyć przez liczbę odwrotną”). Czyli dasz mi jakieś klocki i powiesz mi, który z nich udaje zero a który jedynkę, a ja mam wymyślić resztę: kto do kogo jest przeciwny, kto komu odwrotny, jak dodaję, i ma tu stać na nogach prawo rozdzielczości: dla wszystkich liczb r,s,t zawsze ma być tak:

(r + s) ∙ t = r ∙ t + s ∙ t .

Wymyślenie dodawania i liczb odwrotnych jest bardzo proste, myślisz o zjawiskach okresowych. Powiedzmy, że dostałem 5 klocków, nazywam je od 0 do 4 i ustawiam w kółko. I dodawanie to będzie dodawanie kąta (między pozycją liczby a pozycją zera) jak przy ruchu zegarka, a odejmowanie – dodawanie w drugą stronę.

Nawet bez „tabliczki dodawania” można sobie radzić: wyobraź sobie linię pionową przechodzącą przez 0. Liczby stojące na tym samym poziomie (symetrycznie względem niej), są wzajemnie przeciwne:

-1 = 4 , -2 = 3
-4 = 1 , -3 = 2

i dodawanie (oraz odejmowanie) można robić w pamięci, ale jeśli ktoś naprawdę chce tabliczkę dodawania, to proszę bardzo (ale daruję sobie dodawanie zera):

Zauważ, że gdybym miał parzystą ilość liczb, powiedzmy 6, to liczba po środku (czyli 3) byłaby przeciwna do
samej siebie, 3 = -3 .

Jak dotychczas, nie jest to tak bardzo dziwne, często mamy rzeczywiste zjawiska powtarzające się okresowo (pory roku? kto płaci następną setkę? czyja kolej na robienie zakupów?) i takie rachunki na kółku mogą się nam zdarzyć. Może przypomnisz sobie, że w jednej z rozmów pojawiło się już „rachowanie modulo n”.

(A jak wygląda dodawanie jeśli mam tylko dwie liczby, 0 i 1? Dziwnie jest myśleć, że 1=-1 i 1+1=0, ale wszyscy wiedzą, że to dziwactwo jest podstawą rachunków komputerowych...)

Pokażę jak dla takich tabliczek dodawania dorobić tabliczki mnożenia – tak, żeby wszelkie zasady znane z „normalnej” arytmetyki: łączność i przemienność obu działań, rozdzielność, możliwość znalezienia liczb przeciwnych i odwrotnych (no, nie dla zera), żeby wszystko i tu działało.

Myślę, że niedługie zastanowienie się doprowadzi do odgadnięcia jak zrobiłem te tabelki: po „normalnym” wymnożeniu liczb wziąłem resztę z dzielenia wyniku przez n. A inna rzecz łatwa do zauważenia to użycie w przykładach liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7. Naturalne pytanie: czy dla innych liczb pierwszych mógłbym stworzyć inne przykłady? ma łatwą do uzasadnienia odpowiedź: tak!

Dużo ciekawsze i bardziej złożone jest pytanie (właśnie) o liczby złożone. Czy dla nich da się coś podobnego stworzyć? Otóż „coś” – owszem, ale tylko dla potęg liczb pierwszych i trzeba podejść do tego w zupełnie inny sposób, czyli rachunki na kółku nie dadzą pożądanego wyniku (coś zawsze będzie się psuło przy szukaniu liczb odwrotnych dla niektórych elementów). Ale technika, której nie potrafię wyjaśnić w paru liniach (choć to wcale nie znaczy, że jest trudna) pozwala mi stworzyć takie przykłady, dla których mogę dać gwarancję ważną na 200 lat, że wszystko gra. Oto najmniejszy możliwy z nich, dla czterech elementów.

(Tak, to jest prawie tak dziwne jak Arabowie tańczący ballady Cohena.)

Chyba każdy nauczyciel matematyki ze szkoły średniej powie, że takie twory nazywają się ciałami. Przekład z innych języków nie dawał wielkiego wyboru. Albo wychodziło z tego pole (jak z angielskiego) albo ciało (jak z niemieckiego). Obie nazwy nieintuicyjne.

Zastosowania? Przeróżne, ale co dla ciebie znaczy słowo „zastosowanie?” Są pożytki w maszynach, które się kręcą, wiercą i piszczą, ale to mnie mniej tu ciekawi, bo opis ich byłby tak podniecający jak analiza podmiotu lirycznego w poezji Asnyka. Ale jest pożytek pojęciowy, który szybko i łatwo mogę przedłożyć.

Otoż mamy liczby zwane wymiernymi, a oprócz nich algebraiczne, albo rzeczywiste, albo zespolone (jeśli którychś z nich nie znasz, cierpliwości, jak się dostatecznie długo siedzi na blogowisku, każdy czworonóg kiedyś się pojawi). I staramy się zrozumieć czym są one podobne, a czym odmienne od siebie, i jak je opisać czysto formalnie, tak, żeby Marsjanie to zrozumieli. Dochodzimy do stworzenia listy wymogów (rzeczone przemienności, łączności itd) i mówimy: oto definicja. Co tu wlezie, ciałem jest. I odkrywamy (dokładnie tak jak to się przydarzyło w starożytności z oskubanym kogutem), że mamy dwunoga, z głosem, bez piór, ale nie jest człowiekiem. Czyli nasza definicja jest dużo bardziej liberalna niż byśmy pierwotnie chcieli. Wyrzucić definicję szkoda, naprawić trudno, najlepsze co możemy zrobić to przyzwyczaić się do nowych stworów i powiedzieć im: witamy, czujcie się jak u siebie w domu, ta matematyka jest także wasza. I do jakichś praktycznych robótek wcześniej czy później potrafimy te stworzonka zaprząc. Na przykład do skończonych geometrii czy kryptografii.