W pierwszym odcinku z tej serii w listopadzie pojawiły się tu liczby trójkątne. A potem, od niechcenia czyli poza serią, dwa razy, tu i tu były występy kwadratów czyli liczb kwadratowych. Liczby trójkątne dostały mało znany symbol T_n i oznacza on liczbę [n∙(n+1)]/2.
Symbol liczb kwadratowych jest dużo lepiej znany, to n² i oznacza liczbę n∙n. Pierwsze są sumami kolejnych liczb naturalnych, drugie – kolejnych liczb nieparzystych.

Skoro są liczby trójkątne i kwadratowe, to normalny człowiek (homo fabulorum) zapyta: i co dalej?

Dalej jest. Ale żeby wybrać się do dalej, trzeba ubić grunt dla lepszego odbicia na długi skok. Początek jest dość prosty, wystarczy przypomnieć jak to w angielskim na dwa sposoby pytamy „ile”, raz how much a raz how many. Niepoliczalne i policzalne. Niby i u nas jest to odróżnienie, ile oraz ilu, ale nie jest ono tak jasno zaznaczone. Szkoda, bo dla laika byłby wyraźniejszy  podział matematyki na dwa nieco odległe regiony.

I to z ich powodu chcę powiedzieć parę słów o wydanej przed dwoma laty w Kraju książce Matematyka konkretna, ale będzie tu mały objazd, bo po drodze jest skandalik. A może to i dobrze, skandaliki przyciągają uwagę. Więc uwaga, uwaga, teraz będą brzydkie słowa, a nawet jeśli ich nie napiszę, to napewno są brzydkie myśli.

Książka w oryginale ma tytuł Concrete Mathematics, co w jawny sposób jest dobrym zagraniem handlowym, a w ukryty sposób jest głębokim i inteligentnym żartem. Autorów jest trzech: Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik. Ten po środku jest najsłynniejszy, co prawda nie ma Nobla, ale dostał nagrodę z Kyoto, wartą w dolarach więcej niż Nobel. Ale o nim będzie innymi razy, teraz o czwartym autorze, którego pierwsi trzej chyba nie znają.

Książka trzech autorów została przetłumaczona na polski przez czterech tłumaczy i za pomocą jakiejś magii na witrynie Merlina jeden z nich został czwartym autorem. A nawet pierwszym, w kolejności alfabetycznej, bo się nazywa Czumaj.

To możliwe, że do skandaliku nie przyłożył się doktor Artur Czumaj i że to wcale nie on jest autorem bredni zamieszczonych w opisie książki, ale moje doświadczenie sugeruje, że od czasu do czasu każdy wrzuca do google'a swoje nazwisko i dziwne by było gdyby nikt, ale to nikt doktorowi Czumajowi nie doniósł, że wystawiają go na pajaca. Jeśli rzeczywiście jakieś straszne trolle z nim to zrobiły, fakt ten tu odnotuję i trolli napiętnuję. Teraz bez pewności kto jest autorem owych wymysłów, tutaj je przedstawię. Otóż stoi tam taki passus:

"Matematyka konkretna" jest przeciwieństwem "Matematyki współczesnej", która przybiera postać następujących po sobie definicji, twierdzeń i lematów, jest niezwykle wyrafinowana intelektualnie, ale nie pozwala na rozwijanie umiejętności rozwiązywania problemów praktycznych. W wykładzie Knutha nacisk położono na konkretne metody i triki rachunkowe, z zupełnym niemal pominięciem abstrakcyjnej teorii.

Zauważę, że skoro trzech autorów jest wymienionych w kolejności alfabetycznej, to zapewne w ich odczuciu każdy z nich miał mniej więcej równy wkład do całości i odnoszenie się tylko do najsławniejszego autora jest dowodem intelektualnego grubiaństwa. Ale to jest  najmniejsze z przewinień z owych fraz.

Sugestia, że są dwa typy matematyki, jedna wypełniona formalizmami i abstrakcyjna, a druga rzeczowa oraz przydatna, jest bardzo głupia. Czymś podobnym byłaby sugestia, że są dwa rodzaje pisarstwa, jedno znające gramatykę a drugie codziennym językiem trafiające do czytelnika. Rzekoma abstrakcja to poziom, na który wspina się podróżnik, im wyżej wejdzie tym więcej będzie mógł powiedzieć o okolicy. Triki rachunkowe bez teorii są świetne w tresurze konia w cyrku, o ile koń nie jest zbyt ambitny.

Ale najgorsze jest to, że (jak się wydaje) tłumacz nie przeczytał nawet wstępu do tłumaczonej książki, bo jeśli dobrze pamiętam, autorzy tam wyjaśniają skąd się bierze wybrany tytuł.

Wspomniane regiony matematyki to matematyka ciągła i – no cóż, po polsku ta inna nazywa się nieciągła. Po angielsku continuous oraz discrete. O ile „ciągła” nie wymaga dłuższych objaśnień (któż nie widział gumy do żucia), o tyle drugie słowo zdołało zgrabnie ukryć swoje pochodzenie. Otóż discretus to imiesłów przymiotnikowy bierny od discerno – rozróżniam, oddzielam. A więc matematyka dyskretna to ta, która zajmuje się obiektami oddzielnymi, osobnymi. Do ciągłej zaliczy się rachunek różniczkowy i całkowy, geometrię, systemy dynamiczne – a do dyskretnej algebrę, teorię grafów, kombinatorykę. A gdzie stoją teoria grup Liego czy teoria prawdopodobieństwa? Trochę tu, trochę tam. Teorie osadzone jednocześnie w tych dwóch światach są dziś liczne, ale szukanie powiązań między tymi światami jest tak stare jak cała matematyka. I autorzy książki do tego zrobili w tytule aluzję: CONtinuous + disCRETE.

(Zaręczam, że książka nadaje się do ściśle prowadzonych wykładów matematycznych bez dziur formalnych i na tym poziomie abstrakcji, którego wymaga temat.) Jednym z najdawniejszych mostów pomiędzy dwoma typami matematyki było wypełnianie regularnych figur geometrycznych kulkami i liczenie ich. W ten sposób oddzielne obiekty (liczby naturalne) wiązały się z obiektami ciągłymi (trójkątami, kwadratami czy pięciokątami). Można zdać sobie sprawę z wagi tych starań widząc, że w klasyku od arytmetyki, służącemu jako podręcznik przez ponad 1000 lat (mówię o Wstępie do arytmetyki Nikomacha z Gerazy), po opanowaniu tabliczki mnożenia w księdze I, przechodzi się właśnie do liczb figuralnych i w rodziale XI księgi II pojawia się tabela podająca liczby figuralne, czyli liczące jak są  nafaszerowane trójkąty, kwadraty i tak dalej. Poniższy rysunek jest ładniejszy od jego szkiców, ale to jasne, że z komputerem mam pewne ułatwienia, których koło roku 150 mu brakowało. Nawiasem, używam przedruku jego dzieła z XIII tomu serii Great Books of the Western World, ale z pewnością są w Sieci jego kopie.

Czy te liczby pięciokątne, sześciokątne i inne są tak użyteczne jak trójkątne i kwadraty? I właściwie co to za użytki z nich mamy? Wkrótce to się tu okaże.