Opis poprzednich odcinków:

1.
Liczba to trudne słowo;
wszyscy są wariaci, więc to ja jestem wariat.
2.
Ogólne obszczekiwanie sieciowych definicji.
3.
Kłopoty z liczbą 1 i z jednostką;
durna nazwa liczby rzeczywiste;
definicja geometryczna;
intensywna współpraca czytelników.
4.
Nie wszyscy lubią linię prostą;
Descartes i geometryczne ujęcie liczb;
kłopoty z liczbami infinitezymalnymi.
5.
Gdzie Descartes się poślizgnął;
są konstrukcje, ale sporo kosztują;
lepiej aksjomatyzować niż wszystkie liczby wypisywać;
plan akcji, czyli pakiety postulatów.

I. ℝ z dodawaniem jest grupą przemienną.

Gdybym już opowiedział o kwantyfikatorach, miałbym teraz dużo mniej pisania. Ale rachunek zdań dopiero przygotowuje się i nie mogę ryzykować, że będę miał Ogólny Strajk Czytelników. Mimo tego, początki są łatwe.

Dla każdej pary liczb r,s z ℝ jest w ℝ liczba, którą oznaczam r+s. Nazywam ją sumą r i s.

Dla wszystki liczb r,s,t z ℝ mam (r+s)+t=r+(s+t) .

Jeśli myślisz, że to jest uniwersalne prawo natury, to najpierw do ziemniaków dodaj sól i po ugotowaniu dodaj szczypiorek, a drugim razem do ugotowanych ziemniaków dodaj sól zmieszaną ze szczypiorkiem.

Jest taka liczba w ℝ, która dodana do jakiejkolwiek drugiej nie zmienia jej. Nazywam ją zerem i oznaczam 0.

Gdybym używał tylko całkowitych liczb nieparzystych, nie miałbym wśród nich takiego elementu neutralnego względem dodawania.

Dla każdej liczby r z ℝ znajdę w ℝ taką s, że r+s=0. Nazywam ją przeciwną do r, oznaczam s=-r.

Nie rozbijaj tego symbolu na dwa kawałki, przecież nie rozkładasz 10 na 1( i na ), prawda?

Dla każdej pary liczb r,s z ℝ mam r+s=s+r .


II. ℝ bez zera (ℝ\{0}) z mnożeniem jest grupą przemienną.

Muszę zmałpować wszystko z I., ale z głową.

Dla każdej pary liczb r,s z ℝ jest w ℝ liczba, którą oznaczam r∙s. Nazywam ją iloczynem r i s.

Dla wszystki liczb r,s,t z ℝ mam (r∙s)∙t=r∙(s∙t) .

Jest taka liczba w ℝ\{0}, która przemnożona przez jakąkolwiek drugą nie zmienia jej. Nazywam ją jednością i oznaczam 1.

Dla każdej liczby r z ℝ\{0} mam w ℝ\{0} taką s, że r∙s=1. Nazywam ją odwrotną do r, oznaczam s=r^-1.

Podzielić p przez r to jest to samo co pomnożyć p przez odwrotną do r, p/r=p∙r^-1.

Dla każdej pary liczb r,s z ℝ mam r∙s=s∙r .

III. Dodawanie i mnożenie wiąże zasada rozdzielczości.

Dla wszystki liczb r,s,t z ℝ mam (r+s)∙t=(r∙t)+(s∙t) .

IV. W ℝ można mówić, że a leży na lewo od b (a < b).

Skończyły się żarty, zaczęły się schody. Często nie uświadamiamy sobie jak silnie nasze elementarne pojęcia o świecie są związane z naszą biologią czy środowiskiem. Co będzie znaczyło „pod” i „nad” gdy będę w kulistej kapsułce w kosmosie? Czym by było „lewo” i „prawo” dla zwierzątka z dwóch pudełek zapałek, które w jednym pudełku ma oko, a w drugim brzuch? Ale nawet znane nam zwierzątka sprawiają kłopoty przy identyfikowaniu pojęcia „większy” (ważniejszy, silniejszy) z pojęciem „stoi po prawej stronie”: chyba znasz tę historię o zachowaniach społecznych kur (zjawisko to nazwano „porządkiem dziobania”, pecking order, chodzi o to, która kura ma pierwszeństwo). Nysia przegania Pusię, Pusia goni Tusię, a Tusia łatwo rozprawia się z Nysią.

Musimy przekazać nasze intuicje tak, żeby trzymało się to kupy dla nas, dla komputerów i dla Marsjan. Okazało się, że cztery warunki podane tu, wzięte razem dają pożądany efekt. (Jeśli nie podobają ci się, wymyśl inne. Jeśli będą zgrabniejsze, prostsze, natychmiast odkupię i pięknie podziękuję.) Chcę, by dwa różne elementy były zawsze porównywalne, któryś z nich musi być większy; żeby nikt nie był większy od siebie samego; żeby nie było potem umowy między kmotrami, że Józiu jest większy od Kazia a Kaziu od Józia; i że jeśli Kaziu obrywa od Józia, a Józiu od Dydzia, to nie ma już potrzeby sprawdzać co Dydziu zrobi z Kaziem.

Ładne naukowe nazwy dla tych postulatów to prawa: trychotomii (trójdzielności), niezwrotności, antysymetrii i przechodniości. Nie zaskoczy cię, że o zbiorze z takim uporządkowaniem mówi się, że ma liniowy porządek.

Jeśli mam r,s z ℝ, mam jedną i tylko jedną możliwość: albo r < s , albo r = s , albo s < r .

Nie ma liczby r w ℝ, która by spełniała r < r .

Jeśli dla dwóch liczb r, s z ℝ mam r < s , nie może zajść s < r .

Jeśli dla trzech liczb r,s,t w ℝ mam dwa warunki: r < s oraz s < t , to musi zachodzić też r < t .

V. Muszę powiedzieć co się stanie z uporządkowaniem dwóch liczb jeśli obie poddam jednemu z działań.

Tu nie będzie bolało.

Dodawanie liczby to przesuwanie na linii prostej w prawo (jeśli to liczba dodatnia) lub w lewo (jeśli dodaję liczbę ujemną, czyli odejmuję). Jeśli tak r jak i s jednocześnie przesuwam, to nie zmieniam położenia jednej względem drugiej.

Jeśli mam trzy liczby r,s,t w ℝ i warunek r < s , to mam też r + t < s + t .

Wyobrażam sobie, że w punkcie 0 jest zawias i zmiana znaku liczb to obrócenie prostej liczbowej na tym zawiasie; co było po prawej znajdzie się po lewej i na odwrót.

Jeśli mam r,s w ℝ i r < s , to -s < -r .

Mnożenie przez wszystkich liczb przez liczbę większą od 1 to rozciąganie prostej. Mnożenie przez liczbę dodatnią, ale mniejszą od 1 to skurczanie jej. Mnożenie jej przez 1 to jest to co lubią misie, nicnierobienie. Mówmy naukowo, odwzorowanie tożsamościowe. W żadnym z tych przypadków nie zmieniamy położenia jednego punktu względem drugiego, co było z lewej, z lewej pozostało.

Jeśli mam r,s, t w ℝ , r < s oraz 0 < t , to r∙t < s∙t .

Biorę tylko półprostą z liczbami dodatnimi. Tym razem wyobrażam sobie zawias w punkcie 1. Gdy zamiast liczb biorę ich odwrotne, krótki kawałek półprostej do 1 i nieskończenie długi, od 1, wymieniają się rolami, wywrotka z rozciąganiem jednego i kurczeniem drugiego. Ważne w tej chwili jest, że co było po lewej, znajdzie się po prawej.

Jeśli mam r,s w ℝ, 0 < r oraz r < s , to s^-1 < r^-1 .

VI. W ℝ nie ma dziur.

Tu można napisać książkę. W wielu tomach. Ale można uniknąć straszenia dzieci i udawać, że to jest bardzo proste i nic nie mówić co się ludzie napracowali, nim pogodzili się jakie sformułowanie jest dla wszystkich do przyjęcia. Kłopot nie w formalnościach ale w jasnym zrozumieniu, czego chcemy. A raczej czego nie chcemy. Na przykład, gdybym wziął wszystkie liczby wymierne z odcinka od 0 do 1, ale bez końców, i nic więcej, mółbym zrobić niekończącą się przechadzkę bez niczego w perspektywie: biorę liczby 1/2, 2/3, 3/4, 4/5... Oczywiście posuwam się na prawo. Oczywiście kroki są coraz krótsze. I nie zbliżam się do niczego, bo w moim zbiorze nie ma 1, na jego miejscu jest dziura. I to jest właśnie zjawisko, którego nie chcę. Muszę zagwarantować sobie, że w ℝ nie ma dziur.

Wezmę zbiór liczb z ℝ, nazwę go Q i powiem, że jest ograniczony z góry, jeśli jest w ℝ liczba, której żadna z liczb z Q nie przekracza.

Po pierwsze, jeśli w Q jest największy element, to jest on ograniczeniem z góry. Po drugie, dla zbioru liczb naturalnych nie ma ograniczenia z góry.

Oczywiście jeśli jest jakieś ograniczenie z góry dla Q, jest takich ograniczeń do woli. Mogę próbować brać coraz lepsze ograniczenia, zbliżające się coraz bardziej do Q.

Jeśli istnieje najmniejsze możliwe z tych ograniczeń, nazwę je kresem górnym zbioru Q.

Aksjomat zupełności zbioru ℝ.

Każdy zbiór Q zawarty w ℝ i ograniczony z góry ma kres górny.

Tyle roboty z powiedzeniem, że jeśli w ℝ robię coraz mniejsze i mniejsze kroczki, to z pewnością do czegoś się zbliżam...

Koniec. Fim. The End

W porównaniu z tą orką, wprowadzenie liczb zespolonych (z trzytygodniową gwarancją, liczb połamanych czy pomiętoszonych sklep nie przyjmuje z powrotem) okaże się niesprawiedliwie i nieprzyzwoicie łatwe. Ale najpierw rachunek zdań, bo obiecałem.

A było dużo roboty, bo jesteśmy wariatami. Jak ktoś ma dobrze w głowie, to szybko zapisuje na tablicy listę aksjomatów i może resztę czasu poświęcić na funcję wykładniczą. Dobry wykładowca po magisterium radzi sobie z tym w mniej niż 12 minut. A po doktoracie potrafi zmieścić się nawet poniżej 10 minut.