Cieszmy się. Bój to jest przedostatni.

Opis poprzednich odcinków:

1.
Liczba to trudne słowo;
wszyscy są wariaci, więc to ja jestem wariat.
2.
Ogólne obszczekiwanie sieciowych definicji.
3.
Kłopoty z liczbą 1 i z jednostką;
durna nazwa liczby rzeczywiste;
definicja geometryczna;
intensywna współpraca czytelników.
4.
Nie wszyscy lubią linię prostą;
Descartes i geometryczne ujęcie liczb;
kłopoty z liczbami infinitezymalnymi.
A. W jednym miejscu programu Descartes obiecał więcej niż mógł wykonać. Chodzi o wyciąganie pierwiastka sześciennego czyli trzeciego stopnia. Zapowiedział tam: „jaka jest twoja liczba, s? używając linijkę i cyrkiel skonstruuję dla ciebie taką liczbę, że trzykrotnie mnożąc ją przez siebie dostaniesz wynik s”. Prawie 200 lat później Évariste Galois stworzył teorię wyjaśniającą które z liczb na prostej można w ten sposób skonstruować. Trzecich pierwiastków tam nie ma.

B. Konstruować liczby... Dla laika dziwnie to brzmi. Miałby rację narzekając: używając zawodowego żargonu matematycy nie zawsze wyjaśniają jakie techniczne znaczenie przydają powszechnie znanym słowom. Gdyby szło o konstrukcję budowlaną, trzeba by było podać używane materiały i dopuszczalne procedury. Tutaj tak pierwsze jak i drugie zależą od dziedziny matematyki i zamierzonych celów. Gdy w elementarnej matematyce mówimy o konstruowaniu liczb, zazwyczaj dopuszczamy używanie liczb naturalnych (wielokrotności jedynki). Jeśli zgodzę się na używanie dodawania i odejmowania, skonstruuję liczby całkowite (naturalne i przeciwne do nich). Przyjęcie czterech działań arytmetycznych jako uczciwych technik konstrukcyjnych przyniesie mi liczby wymierne (ilorazy całkowitych). Ale Descartes pisał o używaniu linii prostych i okręgów (czyli mogę mieć w ręce linijkę i cyrkiel). Jeśli moje cegiełki to liczby wymierne, jakie odcinki (liczby rzeczywiste) mogę skonstruować?

Sukcesem matematyki XIX wieku było pokazanie, że trzy sławne problemy matematyki klasycznej: kwadratury koła, trysekcji (podziału na trzy równe części) dowolnego kąta oraz podwojenia objętości, są niewykonalne przy użyciu linijki i cyrkla, jedynych narzędzi, które Grecy dopuszczali w tej konkurencji. (Gdy przyjrzano się sportowi uprawianemu przez Japończyków, origami,  czyli konstruowaniu przy pomocy składania kartki zgodnie z pewnymi zasadami, okazało się, że zbiory skonstruowanych liczb, po grecku i po japońsku, są różne.) To był wielki wynik konstrukcyjny „na nie”. Ale ten sam wiek przyniósł też wielkie wyniki „na tak”: dwie zupełnie odmienne konstrukcje, przedstawione przez panów Cauchy'ego i Dedekinda, startowały od liczb wymiernych i produkowały wszystkie liczby rzeczywiste. I można było powiedzieć co to jest liczba rzeczywista i jak się na niej wykonuje działania, bez odwoływania się do linii prostej i rysunków.

Ale gdybym miał na codzień robić rachunki z użyciem jednej z dwóch metod, zmieniłbym zawód na tresera hipopotamów. Rzecz nie w tym, że obie metody wymagają skomplikowanych idei (pojęcia granicy ciągu w jednym przypadku, par nieskończonych zbiorów w drugim), ale w procedurach, przy których kolejki w ZUS są rajem.

C. Jeśli takie to nieporęczne, po co to wymyślono? Mówiłem trochę o tym: przez niespodziewane, wręcz szalone bogactwo wytworzonych obiektów, zdarzeń, teorii, do matematyki weszły różne pojęciowe potworki, zagrażające jej równowadze psychicznej. Do dziś nie jest łatwym rozstrzygnięcie czy szereg liczbowy, który napiszę od niechcenia (zaznaczyłem na niebiesko, bo to jest ściśle określony termin techniczny) jest zbieżny (czyli to liczba) czy rozbieżny (bezsensowny ciąg znaczków).  Więc konstrukcja tworów, które były, a potem przestały  być oczywiste, przywracała wiarę, że matematyka naprawdę należy do nauk ścisłych.

Używam liczb rzeczywistych w różnych rachunkach, ale w ostatnim kroku, przy przejściu do danych, które mam przekazać komuś, w praktyce używam przybliżeń (jasno przedstawiając jaki błąd rachunkowy skłonny jestem tolerować), zapisywanych liczbami wymiernymi w ich prostej postaci ilorazów, albo w fomie obciętych do paru pozycji zapisach dziesiętnych.

Gorąca prośba: nigdy nie mów „liczby dziesiętne”. Takie coś nie istnieje. To flądry językowe tak mówią gdy myślą o zapisie dziesiętnym liczb rzeczywistych. Tyle w tym sensu, co mówić o chomiku wojłokowym za każdym razem gdy owiniesz swojego ulubieńca w kocyk.

D. Mamy już definicję geometryczną, wierzymy, że gdzieś w Louvre czy w Sevres leży skonstruowana kopia zbioru liczb rzeczywistych, czemu mamy się wdawać jeszcze w definicję aksjomatyczną?

Pomyśl o zbiorze Polaków. Mogę ich ustawić wszystkich, co do jednego, w rządku. Ten (i tylko ten) kto tam stoi jest Polakiem. Ale mogę podać kryterium polskości i zamiast odszukiwać Jasia K. w tym tłumie, sprawdzić czy spełnia on moje wymogi.

Ponadto, w XIX wieku pojawiły się liczby zespolone a także kwaterniony, którym nie można było zabronić legitymowania się nazwą liczby. A w XX pojawili się i inni nieproszeni goście. Czy pamiętasz te malutkie zbiory z 4, 5 czy 7 elementów, w których można było wykonywać wszystkie cztery działania arytmetyczne, więc i one miały prawo do nazwy zbiorów liczbowych? (Nazwaliśmy je ciałami.) Tak więc pytanie brzmi: co odróżnia liczby rzeczywiste od innych ciał? (Dobrze, przez pierwsze pół godziny masz prawo do wybornych żartów językowych na temat ciał. To jest jak różyczka, niemiłe, ale szybko przechodzi).

Definiowanie. Znowu stajemy przed problemem opisu przez wyliczenie lub przez podanie charakteryzacji, czegoś podobnego do przymiotnika. Jak zrobić dobrą definicję, czyli jak dobrze scharakteryzować jakiś obiekt? Na ogół jest wiele sposobów i potem pojawia się zadanie wykazania, że to o to samo chodzi... Proszę wyobrazić tu sobie, że zastanawiamy się nad jeżami i zauważamy, że jeże, od pierwszego do ostatniego, wykazują genetyczną antykocość. Więc wpisujemy antykocość do ich charakteryzacji, ale przypominamy sobie, że niektóre psy też miewają  antykocie wyskoki. Trzeba więc dopełnić opis jeżów podaniem innych cech, tak, żeby w końcu było  czytelne, że to tylko i wyłącznie o jeże chodzi. Od razu widać, że takie charakteryzacje można zrobić szybko i okropnie niezgrabnie, albo trochę nad tym się zastanowić i opracować coś ładnego.

Matematycy pracowali nad aksjomatyzacją dużo czasu i to ciekawe, że porządna aksjomatyzacja liczb naturalnych czy wymiernych przyszła później. To nic dziwnego, najpierw leczy się to, gdzie najbardziej boli.

E. Co one mają czego inne nie mają?

Napiszę program działania, a ty spróbujesz go wykonać, zgoda? Jutro zaproponuję moje sformułowania, w pełni blasku ich oficjalnych szat. Teraz ważnym jest dobre zrozumienie na czym polega nasza gra.

Mamy zbiór, któremu dam imię ℝ. To się źle wymawia ale szybko pisze, więc każdy biurokrata i matematyk lubi jednoliterowe nazwy (informatycy mają trochę więcej oleju w głowie, choć niekiedy przesadzają gdy nazywają coś w stylu PutThatBizarreBoxOverHere).

W ℝ mogę wykonywać 4 działania, jest tam porządek (liczby są poukładane w linii), ten porządek jest sensownie powiązany z działaniami – i mam ciągłość posuwania się w obie strony.

Rozdzielmy to na pakieciki. Wprowadzenie imion własnych dla paru zestawów wymogów ułatwi wysłowienie całości: jeśli w zbiorze mam działanie łączne, jest w nim element neutralny i każdy element ma swój przeciwny (lub odwrotny), taki obiekt nazywam grupą; gdy ponadto działanie jest przemienne, obiekt ten nazywam grupą przemienną. Oto zestawy wymogów (aksjomatów):

I. ℝ z dodawaniem jest grupą przemienną.
II. ℝ bez zera (ℝ\{0}) z mnożeniem jest grupą przemienną.
III. Dodawanie i mnożenie wiąże zasada rozdzielczości.
IV. W ℝ można mówić, że a leży na lewo od b (a < b).
V. Muszę powiedzieć co się stanie z uporządkowaniem dwóch liczb jeśli obie poddam jednemu z działań.
VI. W ℝ nie ma dziur.

Uczciwość wymaga, bym uprzedził, że sformalizowanie ostatniego warunku jest niesłychanie trudne. Tam są krew, pot i łzy ponad stu pokoleń matematyków.

F. A co postawić w słowniku?

Te rozważania nie nadają się do podręcznego słownika czy do ściągi. I nie są potrzebne. Słownik nie powinien udawać encyklopedii. Czemu by nie podać na użytek uczniów, by streścić sensownie długie opowiadanie, takiego określenia?

Jeśli mamy zbiór liczb, które umożliwiają nam mierzenie wszelkich odcinków i powiedzenie w jakim kierunku przebiegamy odcinek (jeden z nich nazwiemy dodatnim, drugi – ujemnym), będziemy mówili o zbiorze liczb rzeczywistych.