A. W wielu językach „widzisz?” znaczy „rozumiesz?” Wizualnie nas informują, wizualnie oszukują. Co robić gdy chcesz uwidocznić matematyczny argument a ktoś nie widzi, bo nie może albo nie chce? Jego prawo! Jeśli „linia prosta” jest pierwotnym pojęciem, to mamy wybór, przyjmujemy je albo nie. Są zupełnie rozsądne powody, by nie zgadzać się na wtłamszenie całej matematyki do geometrii. Widząc takie tendencje centralistyczne, wiele dziedzin matematyki może zawołać „wolność i niepodległość” i stworzą sobie własne działy nauki. Praktyka wykazała, że najlepiej dzieje się gdy mamy archipelag dość niezależnych wysp, między którymi jest gmatwanina mostów i każdy ma prawo wdać się w budowę nowych.
Właśnie Wywrotek przyniósł mi z Sieci obrazek linii prostej, który przyprawi o dreszcze tych, którzy mają o niej inne pojęcie. A tu trzeba się pogodzić z tym, że żyjąc tylko i wyłącznie na prostej nie dowiem się nigdy, że jest w tym moim świecie coś dziwnego.
Ponadto, są i pojęciowe kłopoty, które umknęły uwagi matematyków przez setki lat, może dlatego, że stadny instynkt pognał ich na wypas na łące zwanej „piąty postulat”. W końcu XIX wieku Moritz Pasch zdał sobie sprawę, że pojęcie „być pomiędzy dwoma punktami” nie da się otrzymać z euklidesowych aksjomatów, czyli trzeba było szybko zmienić cały zestaw aksjomatów geometrii. Zrobił to z jego inspiracji David Hilbert.
B. Czemu geometryczna definicja liczb rzeczywistych (ta, którą przedstawiłem w poprzednim wpisie) nie pojawiła się na wczesnym etapie rozwoju matematyki, chociażby w intuicyjnej formie? Przecież konstrukcja iloczynu mogła być zrozumiana przez matematyków starożytności... Otóż dopiero w XVII wieku René Descartes uświadomił sobie, że klasyczne narzędzie, twierdzenie Talesa, pozwala na traktowanie iloczynu miar odcinków jako miary odcinka.
Powszechna (dez)informacja przypisuje mu wynalezienie układu współrzędnych. Zauważmy, że starożytni piraci już je znali: „od kamienia idź ku rzece 8 kroków, daj 3 kroki w lewo, kop na głębokość człowieka, tam zostawiłem skarb”. Używał ich w II wieku Ptolemeusz z Aleksandrii, żeby opisać położenie gwiad... Descartes zrobił coś innego. Najlepiej odkryć to czytając nie ściągi ale autora. Więc czytajmy pierwszą (!) stronę pierwszej księgi „La Géométrie”:
Zadania, których wykonanie wymaga jedynie prostych linii i okręgów
Każde zadanie z geometrii może być sprowadzone do takich wyrażeń, że znajomość długości pewnych odcinków wystarcza do wykonania go. Tak jak arytmetyka polega na czterech czy pięciu działaniach, mianowicie dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu, dzieleniu i wyciąganiu pierwiastków, które może być traktowane jako odmiana dzielenia, tak i w geometrii, by znaleźć pożądane odcinki, trzeba jedynie dodać czy odjąć inne odcinki; lub też, przyjmując odcinek, który nazwę jednostką, by móc skojarzyć go tak blisko jak można z liczbami, i który w ogóle może być dowolnie wybrany, i mając dane dwa inne odcinki, trzeba znaleźć czwarty odcinek, który będzie się miał do jednego z danych odcinków tak jak drugi do jednostki (a jest to tym samym co mnożenie); albo, z kolei, by znaleźć czwarty odcinek, który ma się do jednego z danych odcinków tak jak jednostka do drugiego (a to jest równoważne dzieleniu); lub, w końcu, znaleźć jedną, dwie lub więcej średnich proporcjonalnych między jednostką a danym odcinkiem (co jest tym samym co wyciąganie kwadratowego pierwiastka, sześciennego pierwiastka, itd, z danego odcinka). I nie zawaham się przed wprowadzeniem tych arytmetycznych wyrażeń do geometrii, dla większej jasności.
Choć wykonanie przepisu na konstrukcję kwadratowego pierwiastka jest elementarne, tutaj daruję to sobie, bo można żyć bez tego rozwijając temat liczb rzeczywistych. Zostanie to na inny wpis. W przedłożonym urywku (proszę wybaczyć jeśli w polskiej literaturze jest już zgrabniejsze tłumaczenie) Descartes postawił program arytmetyzacji geometrii, czyli pokazał jak będzie można graficznie przedstawić zależność od liczby x wyniku obliczenia x2, zależność od x liczby 1/x czy zależność od x jego pierwiastka. (Proszę zauważyć jak starannie unikam słowa funkcja, by nie wystraszyć nieprzygotowanych emocjonalnie na spotkanie z tym słowem. Też kompletnym potworkiem językowym i też zawdzięczanym panu Descartes.)
C. Czy można opowiedzieć bajkę o liczbach rzeczywistych w inny sposób? Można wszystko, ale rzadko w nauce ktoś wymyśla coś wartościowego dlatego, że można. Zazwyczaj są lepsze powody. Stary sposób nie działa w nowej sytuacji, albo daje dziwne wyniki, albo jest powolny... Z pojęciem liczby już w XVIII wieku było tyle kłopotów, że to się w głowie nie mieści. Na przykład, z powodu wspaniałej maszynki do różniczkowania i całkowania, stworzonej przez Newtona i Leibniza, pojawiły się bardzo dziwne liczby, dodatnie (czyli większe od zera) ale mniejsze od wszystkich liczb znanych dotychczas. W oczywisty, bezdyskusyjny sposób to nie ma kropli sensu. Przez prawie 200 lat rzesze uczonych, studentów, inżynierów zmagały się z tą aberracją umysłową, nim zespołowy wysiłek mnóstwa umysłów (więc złóżmy kwiaty przed ołtarzykiem pana Augustina Cauchy, bo lubimy czcić tego, kto jako ostatni kopnął piłkę do bramki) pozwolił opowiedzieć całą teorię unikając owych zmór. Wróciły one, triumfalnie i z godnością dopiero po 1960 roku: używając wielu wyrafinowanych pojęć i metod logiki i matematyki XX-go wieku Abraham Robinson stworzył niestandardową analizę, w której zgodnie żyją liczby rzeczywiste, zwariowane „nieskończenie małe” i „nieskończenie wielkie” i w ogóle panuje pokój i miłość. No, prawdę mówiąc, prawie. Zawsze znajdzie się jakiś matematyk, który będzie twierdził, że tam są jakieś kłopoty. Ale matematyka to nie jakaś religia, żeby wszyscy głosili unisono te same prawdy. Oj, przepraszam, nie powinienem sobie kpić z trudności egzystencjalnych odczuwanych w innych dziedzinach życia.
D. W tym opisie perypetii obłąkanych nieskończenie małych i informacji o ich sukcesie po wiekach, mieści się poważna groźba karmienia gremlinów po północy, czyli dania pożywki różnym pseudonaukom. I dlatego, zamiast gonić do innych podejść do liczb rzeczywistych, zostawię to sobie na następny odcinek (rozumiem gwizdy i narzekania, ale nawet Sienkiewicz dorabiał nad wszelką przyzwoitość odcinków przygodom Babicza) i zajmę się wyjaśnieniem sprawy, by nie nastąpiło jakieś quid pro quo. Innymi słowy, ode mnie gremliny nie dostaną ani kostki kurczaka.
Wyobrażam sobie, że podnosi się jakiś miłośnik silników Potopowa albo twórca aparatu nausznego od syntonizacji z siódmym zmysłem i mówi: „a widzicie? czasami trzeba poczekać niż ujawni się słuszność nieortodoksyjnej teorii! Nie można przedwcześnie potępiać kogoś, kto nie jest w zgodzie z Akademią!” No więc uprzejmie informuję, że tak Newton jak Leibniz byli Akademią, że ich pomysły nie kłóciły się ze znanymi faktami i ich punkt widzenia rozszerzał a nie niszczył wyniki ich kolegów. Owe nieskończenie małe miały swoje wady, ale ich główną zaletą było uczestniczenie w natychmiastowym tworzeniu wyników sprawdzalnych, rzetelnych i powszechnie dostępnych – i tylko dlatego naukowa społeczność cierpliwie się odnosiła do ich wad. I pewnej rzeczy one nie miały: nieskończenie małe nigdy nie prosiły o nieskończenie duże transfery pieniężne, dające prawo dawcom na czekanie na fenomenalne zyski w następnym stuleciu. Więc bardzo proszę, niech nikt nie podpina do losów teorii Newtona i Leibniza jakichś hochsztaplerów czy nieuków, bo naprawdę nie po to piszę, żeby ktoś robił z moich rozważań wyściółkę w chlewie.
