1. Od niepamiętnych czasów matematycy używali liczb a filozofowie pisali traktaty o ich naturze. Liczb, nie matematyków. Prawdziwy filozof nie zwraca uwagi na matematyków.

2. Wiele osób to popiera, bo matematyk to dziwak. Na przykład Simon Stevin, który w 1585 roku nalegał w swojej Arytmetyce, ze 1 jest liczbą. Przecież każde dziecko wie o tym.

3. To przez Greków. Mówili, że 2, 3, 4 itd to liczby, a 1 nie było dla nich liczbą. I właśnie u tych Grekach szukamy naszych korzeni! Czyli po prawie dwóch tysiącleciach Stevin kłócił się z nimi.

4. Mogę tych Greków zrozumieć bez trudu jeśli sobie wyobrażę, że jestem sprzedawcą kapusty na targu i właśnie zgubiłem odważnik kilogramowy. I znalazłem główkę, która na wadze kolegi waży dokładnie 1 kilo. No to już mam odważnik. Przychodzi klient, przebiera i chce mi zabrać właśnie tę główkę. To mu mówię: „nie sprzedam. Jak to czemu. Bo to nie jest kapusta, nie widzi pan, że to odważnik?”

5. Grecy bardzo by się zdziwili, że liczba to klasa zbiorów z jakimś pojęciem równoważności. Uśmiechnęliby się uprzejmie, że liczby to są proporcje między odcinkiem a odważnikiem. Przepraszam, między odcinkiem a takim odcinkiem, który został wybrany na mierzącą jednostkę. Więc nie powiedzieliby „twój odcinek mierzy 5” ale „stosunek długości twojego odcinka do długości mojej jednostki jest taki jak 5 do 1”.

6. Prawdę mówiąc, całe nasze myślenie twórcze używa tych greckich proporcji. Na przykład proporcja „tak mają się Stany do dolara jak Polska do ....” prowadzi nas do wymyślenia pojęcia złotówki. Aha, filozofowie już krzywią nosy, że takie rozważania bez dyplomu... Dobra, wracamy do liczb.

7. I wielki był smutek u Greków gdy okazało się, że nie wszystkie proporcje (choćby i ze świata pojęć matematycznych) dadzą się przyrównać do proporcji między parami liczb. Na nic było faszerowanie figur kamykami, czyli wymyślanie liczb figuralnych, bo nie zawsze miało to prowadzić do sukcesu. I jednolity świat liczb-odcinków rozpadł się na dwa różne światy: liczb (dyskretny) i wielkości (ciągły).

8. Ale matematycy byli uparci i niepoprawni i zaczęli wielkości też nazywać liczbami.

9. I wszystko szło dobrze, tylko że w XVI wieku Cardano napotkał taką liczbę-świnię, która zepsuła wszystko. Ona pojawiła się przy rozwiązywaniu równania trzeciego stopnia (nie martw się chwilowo co to niby znaczy) i jej kwadrat był liczbą ujemną. A przecież takie coś nie istnieje.

10. Istnieje czy nie, była użyteczna. I matematycy jej używali, ale z niesmakiem i pod przymusem. I gdy René Descartes pisał w XVII wieku Geometrię, zemścił się na takich liczbach, nazywając je pogardliwie urojonymi.

11. Potem okazało się, że z urojonymi można dojść do ładu i mają one sens, ale było za późno. Przez prawie dwieście lat wyzywano je od urojonych i nikt nie miał zamiaru odszczekiwać kalumnii i płacić za przedruk starych książek, usuwając niesłuszne przezwisko.

12. Co gorsza, dobrze znane miary długości odcinków, za swoją łatwość i przystępność dla oka, dostały od jakiejś mądrali nazwę liczb rzeczywistych. I tak zostało. I zostanie, bo głupotę zrobić jest łatwo a odrobić się nie da.

13. A skoro to feralna trzynastka, to pojawi się teraz definicja liczby rzeczywistej.

Biorę linię prostą. Wybieram na niej dwa różne punkty. Pierwszy będzie służył jako miejsce, gdzie zaczynam wszelkie pomiary (nazwę ten punkt zerem, symbol 0), drugi wyznaczy mi odległość od zera, którą chcę uznać za jednostkę (a ten punkt będzie miał imię jedynki, symbol 1). Punkty prostej leżą po tej samej stronie zera co 1 albo po stronie odwrotnej. Dla punktu z tej samej strony biorę miarę odległości od zera i mówię, że punkt jest tą miarą ze znakiem plus (symbol +). Dla punktów z drugiej strony mówię, że punkt jest ową miarą ze znakiem minus (symbol -). Tak przemianowane punkty prostej nazywam liczbami rzeczywistymi.

(A zerem nie martwię się. Zero ma znak jaki chce.)

Liczby dodaje się i odejmuje, oraz mnoży i dzieli. Skoro mówię, że te punkty stały się liczbami, muszę pokazać jak wykonuję działania na nich.

Przy dodawaniu punktów biorę strzałki od zera do punktu i „dodać” znaczy zahaczyć początek drugiego na strzałce pierwszego. Tam gdzie strzałka drugiego padnie, tam jest punkt zwany sumą. Tak, to dodawanie wektorów na prostej. Wszystko jedno który punkt jest drugi, a który pierwszy.

Przy odejmowaniu drugiego od pierwszego, zmieniam mu strzałkę (biegnie teraz w drugą stronę) i tak zmieniony odcinek ze strzałką dodaję do pierwszego.

Przy mnożeniu... Mam wesołą i smutną wieść. Wesoła mówi, że kto pamięta twierdzenie Talesa, będzie mnożył jak aniołek. Smutna powiadamia, że trzeba będzie kupić sobie płaszczyznę, bo na prostej nie da sie mnożyć.

Na płaszczyźnie nie będę marnował czasu na pamiętanie o znaku liczb. Pokażę jak się mnoży liczby dodatnie (i jak dla nich znajduję liczby odwrotne) a jeśli ktoś ma liczbę ujemną, to zmieni znak wyniku. Jak ma dwie liczby ujemne, to dwa razy zmnieni znak, więc niech lepiej od razu nic nie robi.

Biorę teraz DWA zbiory dodatnich liczb rzeczywistych (czyli po ludzku mówiąc dwie półproste), połączę je pod jakimś wygodnym (czyli niedużym) kątem i poproszę o dwie liczby, które mam wymnożyć. Dostaję dwa odcinki, powiedzmy, że to są a i b, a proszę pamiętać, że od samego początku mam też 1. Na jednej półprostej zaznaczam liczby a,1; na drugiej liczbę b. Prowadzę przez a prostą równoległą do prostej łączącej 1 i b. Punkt s, który dostanę na drugiej półprostej, mierzy właśnie a∙b.

Oczywiście użyłem tu proporcji s/b=a/1 i z niej mam s=s∙1=a∙b.

A jeśli użyję proporcji 1/t = a/1 (czyli tego, że t jest odwrotne do a, a∙t=1), to mogę użyć twierdzenia Talesa ponownie na pierwszej półprostej zaznaczając 1 i a, a na drugiej 1.

14. I to wcale nie jest koniec, wręcz odwrotnie, ale na dzisiaj wystarczy.