Wrócę dziś do składania w kupkę, a raczej w kwadracik, kolejnych liczb nieparzystych. Niedawno pokazałem, że odkrycie, które zrobił w szkole Roman_J (a przed nim i inni uczniowie, a jeszcze wcześniej Galileusz) staje się w miarę oczywiste gdy odpowiednio narysowane. Otóż niedawno przypomniało mi się (pamięć chadza tam gdzie jej się chce), że kiedyś widziałem zupełnie inny szkic przedstawiający ten sam fakt z równą jasnością ale w zupełnie inny sposób. Już go tu pokazuję, ale jeśli ktoś zapomniał wszystko o powiększaniu długości i pól, przypomnę: jeśli w figurce przedłużę wszystkie linie pięć razy, pole jej powiększy się dwadzieścia pięć razy. Ogólnie: n-krotne rozciąganie we wszystkie strony da n²-krotne powiększenie pola. To nie zależy ani od n ani od formy figury. W gruncie rzeczy to jest skutek naszej definicji miary pola oraz twierdzenia Talesa.

No i teraz zrelacjonuję (w trochę zmieniony sposób) pomysł sprzed 17 lat pewnego węgierskiego matematyka (Jenő Lehel, The Sum of Odd Numbers, Mathematics Magazine, 64 (1991), str.103, z serii Proof without Words czyli Dowód bez słów).

Trójkąt (pół-kwadrat) mierzący 1/2 powiększam n-krotnie i widzę, że między zielonymi liniami mam 1,3,5,...,2n-1 jego kopii:

Jeśli ktoś zaczyna podejrzewać, że istnieje jakiś tajny zamysł w moim nawrocie do tak prostych przecież matematycznych uwag, przyznam mu rację i chętnie go ujawnię. Kluczowe słowa (a raczej pytajniki): kto, kiedy, jak? Odpowiedzi: Węgier, niedawno, inaczej. Czyli sensowna dydaktyka to zabawa zespołowa a nie przykopywanie cudzym graczom, robi się to od wieków ale dużo więcej robi się ostatnio niż kiedykolwiek i odmienne pomysły wzbogacają rozumienie nawet bardzo prostych spraw.

Tak nawiasem: wyobrażam sobie, że są tacy ludzie, którzy będą się upierali, że ten nowy rysunek i tamten przedstawiony uprzednio wcale nie są zbyt odmienne. Pełna zgoda. Oto jak można opowiedzieć o przejściu ze starego do nowego. Przedtem były obrócone literki L. Wyobraźmy sobie, że są one obszarami zaznaczonymi przez napiętą elastyczną gumkę zahaczoną o 6 punktów, w których są pineski. Wyrzucamy dwie pineski ze środka (tam gdzie jest spotkanie długich linii poziomych i pionowych) i każdy niebieski L staje się pasem między zielonymi granicami... Takie zabawy ze zmienianiem formy obszarów bez psucia ich jakichś ważnych cech robi się w topologii – to kawałek geometrii.

Morał: przechodniu, nie wstydź się używać pinesek.