Mowa tu będzie twarda i nieprzyjemna, bo rozeźliło mnie parę widzianych ostatnio matematycznych witryn. Prawie zawsze zaczyna się od tego, że to królowa nauk a potem jak używanie komputera genialnie rozwija jej nauczanie. Ludzie, odpuśćcie sobie tę królową. Królowa poszła robić siusiu i nie wróciła. Może się utopiła. Jak już naprawdę trzeba zaimponować sąsiadom, to się mówi: „mam starszego brata i on jest bardzo silny”. A jak szuka się grantu to trzeba śpiewać: „nikt ci nie da tego co ja” i załatwione. Można przeżyć bez wywyższania się nad przedstawicielami innych sztuk, nauk i umiejętności. I jeszcze to stałe pitolenie o logiczności...

A używanie komputera w nauczaniu matematyki? Jeśli przedtem jeden na iluś uczył matematyki i reszta zakuwania, a wszyscy dostali komputery, to jeden na iluś uczy matematyki z użyciem komputera, a reszta uczy zakuwania z użyciem komputera i nie ma sensu więcej o tym gadać. Więc oglądam punkty, które można ciągnąć w lewo i w prawo, liczby, które wskakują do pudełeczek, oklaski, które wyskakują z pudełeczek, taniec motylków wokół liczbowego wyniku i sto innych pimpiułek, ale w jaki niby sposób pomaga to w myśleniu? Szczególnie filmiki i animowane gify są podejrzane. Każdy z nas ma swój własny rytm, w którym głowa mu śle sygnał: „rozumiem” a filmik leci w rytmie rapa. Owszem, mnemotechnika tak się wypasła na tym pólku, że aż strach stać obok niej, ale gdyby ilość zgromadzonej informacji miała dowodzić uczoności to doktoraty trzeba by było dawać książkom telefonicznym.

Przepraszam, więcej nie będę. Doświadczenie uczy, że zamiast wypyszczać się na gorszych, lepiej jest uczyć się od więcej wartych. Ale czasami ponosi. Co gorsza, teraz muszę dać coś pozytywnego, bo uwagi o jedynej dobrej czyli konstruktywnej krytyce są nieuchronne. Wprawdzie tezę o tej krytyce też mam gdzieś, ale może komuś przyda się parę uwag jak widziałbym bardziej sensowne użycie komputera. Zaserwuję to z herbatką i ciasteczkami, ale przedtem będzie trochę odwijania z bawełny. Otóż najcenniejszy w uczeniu się matematyki (tak jak fizyki, chemii czy języków) jest eksperyment i wyciąganie wniosków po swojemu. Etap jego przygotowywania zawsze jest nudny i żmudny. I tu swą pomocną rękę wyciąga komputer, bo kto nauczy się mówić do niego mile oraz spokojnie, dostanie materiał eksperymentalny w tak krótkim czasie i w tak wielkiej ilości, że matematycy z dawnych czasów przewidując to nic by w przeszłości nie robili tylko czekali, aż ktoś im da na Gwiazdkę komputer. Nie pamiętam do jakiego poziomu, do półtora miliona czy do dwóch milionów chciał Gauss rozszerzyć listę liczb pierwszych? Gdzieś westchnęło mu się na ten temat, bo doprowadził ją bardzo daleko i już nie miał siły na więcej. A teraz standardowo dostarczany w Unixach program „primes” (wiesz gdzie on leży? Jego twórcy z BSD wepchali go do katalogu /usr/games/ !) podaje wszystkie liczby pierwsze od 2 do 4294967295 czyli do 2³²-1. A program „factor” do rozkładania dużej liczby na liczby pierwsze też leży wśród gier... Sprawdź na jakimś FreeBSD czy Linuxie pisząc

primes 1000000 1000500

albo

factor 791476201

Jednym z najprostszych wyobrażalnych tu doświadczeń jest dzielenie 1 przez 7. Albo innej liczby, która jest między 1 a 6. Nawet jeśli twierdzenie o okresach liczb wymiernych wyparowało po zdaniu matury (załóżmy, że było podane w szkole), to coś tam mówi człowiekowi, że cyfry po przecinku będą się powtarzać w jakichś blokach. No to zerknijmy, otwieramy jakiś program matematyczny i piszemy 1/7. . Po co kropka? Bez niej komputer może wyobrazić sobie, że chcemy liczby całkowitej i powie, że 1/7 = 0 i to nas zasmuci. Jaki program? Zachęcam do pari-gp. Darmowy. Prosta składnia zdań, które program rozumie. Jest w Sieci gotowy do ściągnięcia dla różnych systemów. Dla Windowsów też. Ważne: żeby wyjść z niego bez bicia młotkiem piszemy \q . Krecha, żeby pokazać, że to rozkaz, q to skrót od „quit” czyli „przestań”.

1/7 = 0.1428571428571428571428571428

Mało danych? Poinformuj rozkazem "\p 50 Enter", że chcesz 50 a nie 28 cyfr (p od „precision”):

\p 50 Enter
1/7. Enter

0.14285714285714285714285714285714285714285714285714

No i patrzymy. Po zerze powtarza się blok 142857 . W szkole tak to się zapisywało:

1/7 = 0,(142857)

Dzielę przez 7, mam blok długości 6. Spokojnie, bez zbyt szybkich wniosków. Gdy dzielę przez 11 mam 2 cyfry:

1/11 = 0,(09)

więc o długości takich rozwinięć (a przyjrzymy się dzieleniu przez różne liczby pierwsze) pomyślimy nieco później. Teraz pobawmy się jeszcze z 7. Liczmy 2/7:

2/7. Enter

0,28571428571428571428571428571428571428571428571428

Aha, ta sama długość bloku, te same cyfry w zasadzie w tej samej kolejności, ale blok zaczyna się w innym miejscu:

2/7 = 0,(285714)

Widać, że nie warto używać 50 kolumn, ale zostawmy „default” 28, bo łatwiej będzie analizować wyniki. Machniemy sobie wszystkich 6 linijek:

0,1428571428571428571428571428 –––– 1/7
0,2857142857142857142857142857 –––– 2/7
0,4285714285714285714285714285 –––– 3/7
0,5714285714285714285714285714 –––– 4/7
0,7142857142857142857142857142 –––– 5/7
0,8571428571428571428571428571 –––– 6/7

Nie ma potrzeby wpisywać sześć razy nakazu dzielenia, wystarczy jeden rozkaz

forstep(n=1,6,1,print(n/7.," ",n,"/7"))

(Prawdę powiedziawszy, choć program urodził się we Francji, ma obyczaje anglosaskie i wyniki mają kropki zamiast przecinka.)

Za każdym razem blok o długości 6 cyfr, za każdym razem te same cyfry, w tym samym ordynku ale blok zaczyna się w innym miejscu. Przestawmy te linie, żeby wyraźniej widzieć powtarzalność:

0,1428571428571428571428571428 ––––1/7
0,4285714285714285714285714285––––3/7
0,2857142857142857142857142857––––2/7
0,8571428571428571428571428571––––6/7
0,5714285714285714285714285714––––4/7
0,7142857142857142857142857142––––5/7

Po przekątnych zjeżdżają te same cyfry. Skróćmy zapis, żeby nie zasypała nas zupa cyfr:

Dziwnie ustawiły się te liczniki: 1, 3, 2, 6, 4, 5 . Czy ustawienie tego w kółku coś wyjaśni?

Na pierwszy rzut oka – nie, ale przyjrzyjmy się uważniej tylko licznikom ułamków:

Okazuje się, że to kolejne potęgi liczby 3 (mnożenie 3 przez siebie samą ileś razy), od których odejmujemy największą możliwą wielokrotność siódemki. Te liczby, reszty kolejnych potęg z dzielenia przez 7, albo mówiąc technicznym żargonem:
3ⁿ (mod 7) – reszty z 3ⁿ modulo 7,

komputer liczy bardzo szybko, bo nie wchodzi nawet po to do pamięci z HD, robi to w CPU. Spróbuj takiego rachunku dla reszt z dzielenia przez 29 przy kolejnych potęgach liczby 10:

forstep(n=1,28,1,print(10^n%29))

Oczywiście „10^n” to n-ta potęga 10, a „m%s” każe podać resztę z dzielenia m przez s.

Chcesz wytworzyć sobie materiał eksperymentalny z jakąś inną liczbą? Dla dzielenia n/19 rozkaz by był taki:

forstep(n=1,18,1,print(n/19.," ",n,"/19"))

a dla innych danych potrafisz podstawić inne liczby w tych przykładach. Zdumiewające tu jest jak daleko może taka zabawa zaprowadzić. Tak proste pytanie jak:

czemu reszty z kolejnych potęg dwójki przy dzieleniu przez p (np. dla p=7) czasami nie biegną po wszelkich możliwych wynikach? Kiedy 2 jest dobre, a kiedy nie?

trapi matematyków od kilkudziesięciu lat.

Wejście na tę dróżkę z okresami ułamków prowadzi do dziedziny, która (helas...) nie doszła do szkolnych programów. Wspaniała i ciekawa teoria grup, użyteczna wszędzie, od fizyki, muzyki, geometrii aż do kostki Rubika, za mądra jest dla biurokratów z MEN, którzy decydują co uczeń zrozumieć potrafi. Ale homo sapiens cum komputer może gwizdać na MEN.