Czy znasz kogoś kto ogłasza: „mam szyję”? Chyba nie. Każdy z nas ma lepszą czy gorszą, ale ma. Jedną. Więc o czym tu mówić? Oczywistości są niezauważalne. Jeśli ktoś je zauważa, to właśnie dlatego, że przestają być oczywistościami, coś z nimi jest nie tak. Zdrowy człowiek w praktyce nawet nie wie, że ma nerki, szyję, dwunastnicę. Że oddycha powietrzem. Że czuje zapachy. Więc co niepokoiło Euklidesa, skoro oświadczył

Omne totum est majus sua parte ?

Tak, wiem, Euklides nie mówił po łacinie. Ale kto z nas uczył się greki... I po łacinie mądrzej to brzmi niż po polsku:

Podstawowe pojęcie 5. Całość jest większa od części.

Przecież każde dziecko to wie. Matematycy też to wiedzieli, przynajmniej do okolic roku 1870. Ale parę prac Georga Cantora zmusiło ich do przemyślenia od początku takich słów jak „ilość”, „wielkość”, „nieskończoność”. Okazało się, że dawne rozumienie pojęć „mniej – więcej” dla zbiorów nieskończonych prowadzi do sporych kłopotów.

Minęło już ponad 130 lat i potrafimy radzić sobie z nową sytuacją. Uczy się w szkołach, że jeśli by „ilość  punktów” odcinka miała sens, to trzeba by było przyjąć, że odcinek i jego kawałek mają tyle samo punktów:

Promienie wychodzące z punktu P wiążą ze sobą w pary punkty z całego odcinka i z jego części. Tyle punktów w jednym co i w drugim. Trudno uwierzyć, że tak strasznie prosty szkic ma tak strasznie głębokie konsekwencje.

Po uświadomieniu sobie tego łatwo już pogodzić się, że tyle jest punktów na odcinku co i na całej prostej, kto w szkole nie rysował grafiku funkcji tangens – a ona właśnie przenosi punkty z odcinka na punkty prostej i można wrócić tam, skąd się wyszło... Czyli można zakodować prostą odcinkiem.

A potem ten wynik o liczbach naturalnych i wymiernych. Pozornie ilości zupełnie odmienne. Naturalne są wzorem godnej kolejki, jedna po drugiej w stałej odległości. A wymierne (pieszczotliwie zwane ułamkami, okay o ile myślimy o dzieleniu liczb całkowitych) rozsmarowane są w bardzo nieporządny sposób na prostej, wszędzie, w każdym jej kawałku, jest ich nieskończenie wiele...

Aha, proszę nie mówić o nieskończonej liczbie czegoś tam. Nie ma nieskończonych liczb. Chodzi zapewne  o nieskończoną ilość. Czyli taką ilość, której nie wyraża żadna liczba. No, chyba, że by wyraziła, ale lepiej, żeby takie coś nie nazywało się liczbą, bo jak się zmienia bez zapowiedzi sens słów to robi się tylko potworny bałagan. Nie, ja wcale nie robię aluzji do świątymi opatrzności i centrum kultury, ja mówię, że różne nieskończoności będą opisywane przez liczby kardynalne. Liczba kardynalna to nie liczba, tak samo jak świnka morska to nie świnka, prezydent honorowy to nie prezydent a szynka drobiowa to nie szynka.

Tak samo jak można połączyć w pary punkty odcinka dłuższego i krótszego, można ustawić w kolejce (czyli połączyć w pary z liczbami naturalnymi) wszystkie dodatnie liczby wymierne. Prosty pomysł: najpierw ustawiamy je w (niekończącej się) tabelce, numer wiersza daje licznik, numer kolumny daje mianownik. Potem wyrzucamy te zapisy, które mają większy od jedynki wspólny dzielnik licznika i mianownika (czyli licznik i mianownik nie są względnie pierwsze) a potem biegamy według planu pokazanego na tym szkicu i te liczby, które zostały, nanizujemy na linię. Więc  każda wymierna będzie miała (jeden i tylko jeden) numer i każdy numer będzie kodował (jedną i tylko) jedną liczbę wymierną.

I fajne to jest w teorii ale niezgrabne w praktyce. Bo gdyby ktoś się zawziął i poważnie potraktował to kodowanie to sporo by się napracował nim by odkrył która liczba wymierna stoi w kolejce z numerkiem trzy miliony. I dlatego przyjemnie jest opowiedzieć o idei, którą przedstawił w paru linijkach w roku 1989 Yoram Sagher (American Mathematical Monthly, 96, p.823). Kto potrzebuje wołać, że nasi górą, może zacząć się cieszyć. Wprawdzie on nie jest polskim Żydem, ale  pisał doktorat w Stanach u Antoniego Zygmunda. Parulinijkowy artykulik nazywa się „Counting the rationals” (Licząc liczby wymierne) i używa dwa proste fakty. Pierwszy to rozłożenie (względnie pierwszych) licznika i mianownika na iloczyny potęg liczb pierwszych. Dowcip w tym, że liczby pierwsze z licznika nie pojawią się w mianowniku i na odwrót. Drugi to ten, że dwa typy liczb (licznik – mianownik) możemy skojarzyć z dwoma typami wykładników (parzyste – nieparzyste). Jeśli wszystkie wykładniki z licznika podwoimy (więc będą parzyste) a wszystkie z mianownika podwoimy i pomniejszymy o jeden (staną się nieparzyste), będziemy mogli wymnożyć tę bandę liczb i odkodowanie tej (sporawej) liczby naturalnej, by odkryć jaka liczba wymierna została tak zapisana, nie przynosi żadnej trudności.

Przykład jest tu (TU! W innych wypadkach zazwyczaj  przykłady niewiele dają) tak dobry jak formalny zapis ogólnego przypadku. Więc weźmy 1400/3267.

Rozkład licznika: 1400 = 2³5²7¹.

Zakodowanie licznika: 2^2×35^2×27^2×1 = 2⁶5⁴7².

Rozkład mianownika: 3267 = 3³11².

Zakodowanie mianownika: 3^{2×3 - 1}11^{2×2 - 1} = 3⁵11³.

Zakodowanie ułamka: 1400/3267 ---> 2⁶3⁵5⁴7²11³.

A więc liczba 1400/3267 ma numerek 633928680000.