Jednym z najtrwalszych i najpiękniejszych pomników zachowanych w pełni swojej urody od starożytności jest dowód Euklidesa o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych. Nie mamy pewności czy to rzeczywiście Euklides wymyślił go, był redaktorem i organizatorem wiedzy matematycznej z jego świata, więc kto to wie. Ale rozumowanie jest tak eleganckie, że często słyszało się opinie, że nie da się go już ulepszyć. Wspaniały łącznik między umysłami, biegnący ponad wiekami, wojnami, nacjami.

Był czas, że uczono go w szkole. Czy był powszechnie dobrze pojmowany? To jest pytanie czy rozumiano kiedyś technikę rozumowania reductio ad absurdum. Dziś wiele szkół poddaje się i nawet nie próbuje uczyć tego. To nie wina umysłów uczniów lecz nauczycieli. Bardzo się ten zawód zbiurokracił.

Tak czy inaczej, dowód niewprost ma niemiłą stronę: wymaga myślenia. Ale niezbyt intensywnego. Może tylko przypomnę, że liczby pierwsze to matematyczni kuzyni chemicznych atomów, nie można ich rozbić na czynniki. (Można 4, 6 czy 15, a 7 czy 11 nie.) I są dobre powody, by nie rozważać liczby 1, z definicji jest wykluczona z tej zabawy. A inne nie-pierwsze nazywają się złożonymi.

A więc (prowadzi myśl Euklidesa) zasób takich liczb nie może się skończyć. Gdyby tak było, to bym wszystkie je wymnożył, do iloczynu dodałbym 1, otrzymana liczba byłaby więc większa od wszystkich składników, czyli musiała by być złożona. Ale jeśli iloczyn plus 1 jest podzielny przez jakąś liczbę pierwszą i sam iloczyn też, to ich różnica (czyli liczba 1) też by była podzielna przez ową liczbę piewszą, nonsens. Czyli pomysł, że liczb pierwszych jest skończona ilość nie ma sensu.

No i szanujmy Euklidesa i jego dowód, ale nie wierzmy, że tego już się nie da polepszyć. Łatwiejszy, a nawet zabawnie łatwy dowód został wydrukowany w 2006 r. w grudniowym wydaniu American Mathematical Monthly. Był przedłożony do druku w 2005 i ogłoszony w Sieci, ale ciągle jeszcze nie jest powszechnie znany. Ma tę zaletę, że nie używa reductio ad absurdum, można go uznać za dowód konstruktywny, a są tacy, co takie dowody wolą.

Używa on pojęcia liczb względnie pierwszych. To takie dwie liczby naturalne (całkowite, dodatnie), które nie mają wspólnego dzielnika. (A więc para 14, 35 nie jest względnie pierwsza, bo 7 dzieli je obie, a 14, 33 jest.) I jest zupełnie oczywiste, że dwie kolejne liczby są względnie pierwsze, bo gdyby coś je naraz dzieliło, to dzieliłoby też ich różnicę, czyli 1.

Więc zaczynamy od jakiejś liczby n większej od 1, ma ona jakiś dzielnik (a więc i jakaś pierwsza liczba ją dzieli), to samo jest prawdą dla n+1. No to n(n+1) ma co najmniej dwa dzielniki pierwsze. Przezywamy tę liczbę m (pamiętamy, że ma ona przynajmniej dwa dzielniki), liczba m+1 ma też jakiś dzielnik czyli m(m+1) ma już nie mniej niż trzy dzielniki pierwsze – i powtarzanie tego gwarantuje, że możemy stworzyć liczbę z taką ilością różnych dzielników pierwszych ile tylko chcemy.

Czy to jest całkiem nowy i oryginalny pomysł? Nie w 100 procentach, to uproszczenie pomysłu Christiana Goldbacha, wymyślonego w roku 1730. Autorem jakże nieoczekiwanego uproszczenia jest mający dziś 31 lat Słowak Filip Sajdak.

Parę słów o miejscach i osobach podkreśla jak bardzo międzynarodową działalnością jest nauka. Sajdak po opuszczeniu Bratysławy skończył studia w Nowej Zelandii i już tam nawiązał korespondencję z Paulo Ribenboimem, brazylijskim matematykiem z São Paulo od lat pracującym w Kanadzie. Ribenboim zaprosił Sajdaka do zrobienia tam magisterium (a potem i doktoratu) – a teraz Filip Saidak (literka j dla zachowania swego prawdziwego dźwięku przeinaczyła się na i) pracuje na uniwersytecie w Północnej Karolinie w Stanach. A polski uczeń, który przeczyta to może nauczyć swojego nauczyciela jak pewien Słowak opierając się na pomyśle pruskiego matematyka ulepszył słynny wynik Greka, który pracował w egipskiej bibliotece w Aleksandrii.

And I saw the maths, creeping through the black,
cutting through the history with a golden track.

Mumbo-Jumbo will hoo-doo you,
Mumbo-Jumbo will hoo-doo you,
Mumbo-Jumbo will hoo-doo you.