Proszę wsiadać i jedziemy. Nie powiem dokąd, bo połowa osób wyskoczy opowiadając, że nie ma zdolności i już się sparzyła. A tak to dojedziemy spokojnie i nie trzeba będzie używać tych torebek antymatematyczych.

Przypomnę tylko, że już były tu rozmowy o tabliczce mnożenia, a przy tej okazji o liczbach kwadratowych i prostokątnych, o mnożeniu liczb używając tabelkowej metody zwanej geloxia, a także obśmialiśmy już okropny sposób uczenia przez łupanie spadającym z nieba wzorem a potem wyjaśniania, że to chce coś powiedzieć.

Pierwsze lekkie szarpnięcie, dla zasygnalizowania, że już ruszyliśmy: co to znaczy wzór? Nie chodzi mi o sto znaczeń ze stu dziedzin życia, a o matematykę. Myślę, że prawie wszyscy widzą jakiegoś smoka na tablicy, co zaczyna się po lewej stronie igrekiem, potem jest znak równania a potem takie coś, że się w głowie nie mieści, ale za to ma znaki pierwiastka i wskaźniki u dołu lub u góry albo, co gorsza, wszędzie. Czyli przepis na otrzymanie jakiejś liczby, która jest nagrodą za grzeczne poddanie się opisanym procedurom.

Aha, musi tam być jakiś iks. Zmienna. Nieoznaczona. Źle to brzmi? To może: dżoker? Taka karta, która jest nikim, ale może być wszystkim i to zależy od naszej decyzji. Jak za tego iksa w przepisie na kulki wstawię czekoladę to dostanę kulki czekoladowe, a jak rybę to wyjdą kulki rybne. I te różne wzory ze szkoły to były przepisy. Same w sobie nie miały żadnego smaku, ale gdy się ich używało, czasami dało się położyć coś miłego na stole.

Więc te wzory, przepisy, nie były końcowym celem pracy (odliczając pracujących matematyków i maniaków), one były skondensowaną wiedzą, która miała ułatwiać życie i uwolnić od potrzeby ciągłego odkrywania Ameryki.

Czy warto zerknąć do etymologii dawnej nazwy, gdy się mówiło o formułkach? Może nie zaszkodzi. Formula to mała forma. Czyli drobne ukształtowanie. Ale czemu to forma musiałaby zawsze być jak ten słup na pustyni, że igrek równa się cośtam?

Nie, nie musi. Od dawna używa się „zamkniętych form”, które jakoś wiążą ze sobą dwa zjawiska (lub więcej ich) i nie da się wysupłać jednego z nich osobno. Na przykład, z twierdzenia Pitagorasa (sinus kąta do kwadratu plus cosinus tego kąta do kwadratu da 1) nie da się wysupłać sinusa bo dostajemy jedną z dwóch formułek, z plusem lub z minusem. Ale wyjściowy opis jest prosty, zrozumiały geometrycznie i przydatny,  więc „zamknięta forma” może być równie cenna jak opis w stylu „igrek równa się ileśtam”.

Głupie pytanie: czy jeśli wiem, że szerokość pola to 7 a długość to owa nieznana n, to A=7∙n jest wzorem? No, chyba tak. Oj, coś tu dziwnego. To znaczy, że mnożenie dwóch liczb (naturalnych, przyjmijmy dla prostoty)  wyraża się wzorem. Umiem go zastosować, bo rozumiem znaczenie słowa „mnożyć”. A gdybym nie umiał, a umiał tylko dodawać? Hmm, wtedy bym pisał coś takiego:

    7∙2 = 7+7  ,   7∙3 = 7+7+7  ,  7∙4 = 7+7+7+7 , ..

mianowicie tego: 1,2,3,4,... ?

Pamiętasz wzorki ze szkoły na sumę wyrazów postępu arytmetycznego? Świetnie, to zapomnij o nich na chwilę. Zamiast liczyć będziemy rysować:

   1       1+2      1+2+3      1+2+3+4      1+2+3+4+5

Czy jasne jest czemu Grecy nazywali te sumy „liczbami trójkątnymi”? I geometryczny pomysł (bez żadnych wzorów dotyczących postępów) mówi jak wyrazić prosto kolejne liczby trójkątne T_k:



A więc

2∙T₁=1∙2, 2∙T₂=2∙3, 2∙T₃=3∙4, 2∙T₄=4∙5, 2∙T₅=5∙6, ...

czyli, ogólnie mówiąc:

2∙T_n = n∙(n+1)

i wkrótce okaże się, że o tych liczbach można i trzeba sporo mówić. Ale to nie dziś.