Gorsze są słupki, lepsza jest geloxia. Gorszy zapis wygrał z powodu trudności, które młoda technologia druku miała z liniami innymi niż poziome i pionowe.

Uwagi etymologiczne o rzekomym związku nazwy geloxia i zazdrości zostawię na zakończenie, często posiłki kończą się czymś lekkim, co w dodatku ma miły smak.

Widzę w Sieci, że prawie rok temu, w końcu listopada 2006, geloxia zebrała wiele braw, choć pojawiła się pod przybranym imieniem „mnożenie przez rysowanie”. Dwie osoby niezależnie od siebie dodały ją do Wykopu i do dziś te wpisy widnieją tutaj. Jedno z odesłań prowadzi do słownego opisu filmiku, zamieszczono to tu i filmik nazywa się Easy Graphical Multiplication Trick czyli „Łatwa sztuczka graficznego mnożenia”. Drugie odesłanie prowadzi wprost do tego filmiku, zmienia się adres oraz nazwa: Math Lesson: A new way to multiply („Lekcja matematyki: nowy sposób mnożenia”). Obie zapowiedzi zawarte w tytułach są nieporozumieniami. To nie żadna sztuczka a rzetelne i powszechnie znane mnożenie, tyle że zapisywane w inny sposób. A jeśli chodzi o nowość tego sposobu, to proszę zauważyć, że ten obrazek ilustruje tę metodę, a pojawił się w r.1478 w pierwszej drukowanej (w Treviso we Włoszech) książce nieznanego autora, dotyczącej arytmetyki.

(Ten obrazek to pożyczka ze str.99, „A History of Mathematical Notations”, Florian Cajori, Dover 1993.)

Przy okazji podziękuję Tomaszowi Plucińskiemu, że mi w marcu podesłał ten filmik. Tomku, niech Ci będzie poświęcona ta opowiastka o geloxii, bo Twoje historie o chemii i o nauczaniu w ogóle są bardzo cenne i na pewno powinny być szerzej znane.

Czy mogę zacząć od osobnych klateczek tabliczki mnożenia, ale troszkę inaczej rysowanych?



Jak widać, jeśli mnożę dwie liczby mniejsze od 10 i wynik też nie przekracza 9, wpisuję go w dolnym trójkącie. Jeśli ma dwie cyfry, pierwszą wpisuję w górnym trójkącie, drugą w dolnym.

Czasami ludzie potykają się na rozróżnieniu cyfr i liczb, więc lepiej powtórzyć te oczywistości: litery zapisują słowa, a cyfry zapisują liczby. Mogą się zdarzyć momenty niepewności, bo są
słowa jednoliterowe i są liczby jednocyfrowe, ale kontekst czyli środowisko wyjaśni z czym mamy do czynienia, z cyfrą (czyli zapisem) czy z liczbą (czyli przedstawicielem fauny matematycznej).

Gdy chcę przemnożyć dwie liczby z wielu cyframi, pierwszą zapisuję poziomo nad klatkami, drugą pionowo po prawej stronie klatek i w każdej klatce zapisuję wynik mnożenia jednocyfrowych liczb.

Potem (od prawej do lewej) zbieram liczby z pasków ograniczonych niebieskimi przekątnymi. Jeśli suma przekracza 9, tylko ostatnią cyfrę zapisuję u dołu na czerwono, resztę dodaję do następnego (z lewej) idącego po przekątnej paska. Koniec.

Większość fachowców zgadza się, że łatwiej wytłumaczyć dziecku ten proces niż „przesuwanie słupków na lewo”, ale, jak już powiedziałem, drukarze podjęli decyzję: przekątne wymagały sporo roboty. Trzeba by było mieć czcionki na wszystkie jedno i dwucyfrowe liczby z przekątną kreską między nimi.

Sytuacja jest podobna do potyczki między zapisem filmów w VHS i Betamax. Lepsze przegrało, tylko filmowcy używali Betamax – ale oba systemy są skazane na zapomnienie z powodu nie-mechanicznego zapisu filmów jako plików elektronicznych. Wprawdzie uczy się ciągle dzieci mnożenia w słupkach, ale to jest hipokryzja, bo dorośli mnożą liczby używając kalkulatorków.

To wcale nie znaczy, że miły pomysł geloksji (zmuszę się do tej niemiłej mi pisowni) pojawił się nadaremno. Idee mają lepszą sytuację niż koty, one też maja wiele żywotów ale za każdym razem mogą się wcielać w nowe gatunki stworzonek. Na początku XIX wieku William George Horner wymyślał technikę obliczania wartości wielomianów i do tego trzeba mu było je dzielić. (Tak naprawdę używał czegoś bardzo podobnego do algorymu Euklidesa.) Po drodze do dzielenia stało mnożenie i zostało jako odprysk dydaktyczny zwany „schematem Hornera mnożenia wielomianów”:

Chcąc znaleźć współczynniki wielomianu, który jest iloczynem dwóch innych, ustawiam wszystkie (nawet niedostrzegalne, czyli 0 lub 1) współczynniki jednego poziomo nad klatkami, od „najstarszego” aż do wolnego, podobnie, ale pionowo po prawej ze współczynnikami drugiego czynnika, u dołu zbieram wzdłuż przekątnych liczby, które towarzyszą tym samym wykładnikom – i wynik zapisuję w formie wielomianowej.

Tak, także wielomiany mnoży się coraz rzadziej „na siłę”, włączam program pari-gp i on oszczędza mi czas i chroni przed głupimi pomyłkami ze znakiem i z tabliczką mnożenia. Ale czasami...

Zabawne, kiedyś uczono tego w szkole średniej. A nie tak dawno temu pojawiło się to jako artykulik dobrego pedagoga (Jeff Suzuki) w przyzwoitym pisemku z dość prostej matematyki, The College Mathematics Journal (styczeń 1999, str.50-53). Tytuł: Multiplying and Dividing Polynomials Using Geloxia. Jeśli dalej tak pójdzie to pisma matematyczne będą propagowały znajomość tabliczki mnożenia...

Ponadto, kto doszedł do używania macierzy i nie chce mu się włączać komputera, może je mnożyć używając bardzo podobnego „klatkowego” pomysłu. Jeśli macierz A ma tyle kolumn co macierz B linii, można je ustawić sobie tak:

gdzie a_ij to iloczyn i-tego wiersza z A i j-tej kolumny z B.

A teraz obiecana etymologia. Geloxia to nie jest ta porządna łacina z Rzymu, a średniowieczne przyswojenie przez włoski francuskiego słowa jalousie czy zazdrość. Mamy w polskim żaluzje czyli zazdrostki, tu nie szło o zasłony ale o kraty utrudniające zerknięcie do środka. Takie pochodzenie podaje Steven Schwartzman, autor słownika „The Words of Mathematics”. Nie zdołałem potwierdzić tego w jakimś innym źródle, ale z drugiej strony inne źródłosłowy podawane przez tego autora okazywały się godne zaufania. Więc przekazuję je tu ufając, że nie rozsiewam niesprawdzonych plotek.