Didaskalia

Skończyły się żarty, zaczęły się szkoły. Pierwszy dzień ma niesłoneczny początek, pierwsza lekcja to matematyka. Wchodzi Klara, miła i wesoła nauczycielka i wszyskie dzieci posmutniały. Będzie twierdzenie Talesa. Jak dobrze pójdzie, to w drugim akcie Klara pozostanie we wdzięcznej pamięci uczniów, będzie tam nawet w ich studiach i pracy. Jak pójdzie źle, będzie płacz i nuda. Wszystko zależy od tego czy na sali jest straszne dziecko Wywrotek. Klara rozgląda się i widzi go. Ciarki jej przechodzą po plecach i jeszcze nie wie, że to dzięki Wywrotkowi stanie się dobrą nauczycielką.

Akt pierwszy ujawni, że język matematyki, drętwy i sztywny, nie został wymyślony dla torturowania humanistów, jest systemem obronnym przeciw różnym Wywrotkom, które od niechcenia i łatwo obalają to, w co Klara wierzy i co chce przekazać dzieciom.

A więc, szkoła podstawowa, klasa aż pęka od tłumu  i hałasu, w pierwszych ławkach Grzeczne Dziewczynki, które wszystkim potakują i na wszystko przystają. W ostatnich – Skrzywieni Chłopcy, którzy ślą sobie sms-y.

Akt I. Podstawówka

Klara. Pamiętacie, że w czerwcu andsol opowiadał o co chodzi w twierdzeniu Talesa?

Dzieci. Nie, nic a nic. Co to jest andsol?

Klara. No właśnie, szło o to, że jeśli mamy jakieś figury na płaszczyźnie to nie ma znaczenia czy widzimy je z bliska czy z daleka, to nie zmienia tego co się dzieje tam w środku. Jeśli jedna kreska była osiem razy dłuższa od drugiej, to wszystko tak zostanie nawet jeśli odejdziemy o kilometr. I zamiast myśleć o oddalaniu się możemy tak pomyśleć: ktoś zrobił kopię tej płaszczyzny i wszystko powiększył sto razy. Kreski zrobiły się dłuższe, ale tamte dwie ciągle – jak my to mówimy – są w tej samej proporcji, osiem do jednego. I Tales wpadł na pomysł, że jeśli opowiemy to na przykładzie trójkątów to wszystko będzie jasne dla wszystkich figur na płaszczyźnie. Więc spróbujemy to narysować. Pomyślałam, że moglibyście mi pomóc, jakby to był przepis na tort w tv, ja będę mówiła co trzeba zrobić a ktoś z was będzie to rysował na tablicy. Tak, Wywrotku, słucham cię?

Wywrotek. Czy mogę to robić, bo już i tak mam brudne ręce?

Klara (z odruchem paniki). Jasne, Wywrotku, chodź i weź niebieską kredę, bo będziemy na początek rysować na niebiesko półproste. Gotowe?

Wywrotek (patrzy drwiąco i bierze kredę). Tak.

Klara. Chcemy dostać kąt, więc rysujemy dwie półproste.

Wywrotek.

Klara (no tak, nie powiedziałam, że zaczynają się w tym samym miejscu). Rysujemy dwie półproste, które wychodzą z tego samego punktu.

Wywrotek.

Klara (potrzebuje paru sekund, żeby zrozumieć, że Wywrotek ukrył jedną półprostą pod drugą). One nie pokrywają się, czyli nie są identyczne.

Wywrotek.

Klara. Powiedzmy to inaczej: rysujemy dwie półproste, które nie są równoległe i wychodzą z tego samego  punktu.

Wywrotek.

Klara. No pięknie. Teraz, Wywrotku narysujemy dwie proste. Będą równoległe do siebie. Lepiej będzie wziąć dla nich inną kredę, może brązową? Rysujemy dwie linie proste, równoległe (nie, tym razem nie zapomnę), nie pokrywające się, które spotykają się z obu półprostymi.

Wywrotek.

Klara (nie, tym razem to nie może być przypadek. Co on ma w charakterze, że tak szybko wypacza wszystkie dobre intencje?) Może powiem to tak: te proste nie  przechodzą przez początkowy punkt należący do dwóch półprostych.

Wywrotek.


Klara (z trudem powstrzymuje się od płaczu z radości). Pięknie! Teraz na jednej z tych półprostych zaznaczamy dwa odcinki, zaczynają się one na początku półprostej a kończą się w miejscu spotkania z prostymi.

Wywrotek.

Klara. Czy mogę powiedzieć, że jeden odcinek jest dłuższy a drugi krótszy? Czy to jest jasne?

Dzieci. Tak! Nie! Wszystko jedno! A bo co? Wisła wygrała trzy do jednego!

Klara. Podzielimy ich długości, ale bez pisania, tylko w myśli, powiedzmy, że dzielimy większą liczbę przez mniejszą.

Czaruś. A który odcinek ma większą długość, krótszy czy dłuższy?

Wywrotek. Przestań durnić. Ja tu obalam wszystko naukowo a ty włazisz z taką amatorszczyzną. Idź do elpeeru.

Klara. Chłopcy, nie kłóćcie się. Czarku, czy Wywrotek ci wyjaśnił sprawę? Świetnie. Pamiętacie, że o takiej liczbie mówimy iloraz albo współczynnik proporcji albo skala albo...

Gryzik. Albo jedno słowo nie wystarczy?

Klara. Wystarczy, masz rację. Więc będziemy to nazywać ilorazem albo stosunkiem liczbowym. Teraz zaznaczamy na prostych dwa odcinki zawarte między półprostymi.

Wywrotek.

Klara. Czy jest jasne, że jeden z nich jest dłuższy?

Dzieci. Nie! Tak! Wisła jeszcze przegra!

Klara. Warto naszkicować osobno tylko te dwie pary odcinków, które wykroiliśmy na półprostych i na prostych.

Wywrotek.

Klara. Dla nowych odcinków też tworzymy iloraz, dzieląc większą przez mniejszą długość. I teraz – ciekawa jestem kto z was zgadnie co się okaże?

Dzieci. Jutro nie będzie lekcji! Przyjdzie nowy profesor! Mama Wywrotka znowu pójdzie do dyrektora!

Klara. Nie, kochani, te dwa otrzymane ilorazy...

Grzeczna Dziewczynka. To dwie równe liczby. Proszę pani, czy dwie różne liczby mogą być równe?

Klara. Liczby są te same, ich zapisy mogą być różne. Bierzemy dwie kopie tej samej liczby i one czasami inaczej wyglądają, na przykład 7/2 i 21/6, zgoda?

Grzeczna Dziewczynka. Ja zawsze się zgadzam.

Klara. To zgódź się też, że odcinek i długość odcinka będziemy tak samo nazywać. To jest umowa, która nie ma sensu, ale jest bardzo praktyczna  i wszyscy to robią.

Wywrotek (dziwnie świszczy). Czy mogę już siąść?

Klara. Czy nie chcesz dać jeszcze nazw tym odcinkom imion i zaznaczyć to na obrazku?

Wywrotek. A co mi tam. I tak mam już zapaćkane rękawy. Mam dobre imiona dla nich, a,b,c,d. To skrót od ale będzie cacy ddddd... dizajn.

Klara. Dziękuję, Wywrotku, zrobiliśmy dobrą robotę. Teraz powiem jeszcze raz wszystko od początku –  jak widzicie nawet gdybyście podawali taki przepis przez telefon do Australii

Głos z Głębi. Mój wujek mieszka w Australii. I ma samochód na 10 metrów.

Klara to rysunek tam zrobiony byłby w zasadzie taki sam. A więc:

To od czego zaczynamy nazywamy założeniami, są one takie: bierzemy dwie nierównoległe półproste zaczynające się w jednym punkcie i dwie różne proste równoległe, które nie zawierają tego punktu i które spotykają się z każdą z półprostych. Na jedne z półprostych bierzemy dwa odcinki, od początkowego punktu aż do spotkania z prostymi. Na prostych bierzemy dwa odcinki zawarte między półprostymi. Dla każdej pary odcinków tworzymy iloraz, dzieląc długość większą przez mniejszą. A teraz mamy tezę czyli to co twierdzimy o naszej figurze: oba ilorazy są równe.
 

Sprzątanie po pierwszym akcie. W niektórych książkach jest rysunek z wielu prostymi równoległymi. Jaki sens ma wołanie na scenę kupy aktorów jeśli tylko dwóch będzie grało? Żeby podnieść koszt produkcji?

Bywa, że ktoś w ten sposób ilustruje to twierdzenie.

To BARDZO niedobry pomysł. Wyrabia się w dzieciach przesąd, że to twierdzenie jest prawdziwe tylko wtedy gdy proste spotykają jedną z półprostych pod  specyficznym (tu: prostym) kątem.

Akt II. Liceum

Pojawia się notacja wektorowa, mnoży się wektor u przez skalar (liczbę, załóżmy, że dodatnią) k. I pojawia się prosty wzorek, wyglądający jak „prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia” albo na odwrót (nigdy nie pamiętam, chyba jednak na odwrót,  olewać to), że dla każdej liczby k i dla wszystkich wektorów u, w, mamy k(u+w) = ku+kw. Niespodzianka, to jest twierdzenie Talesa. A nawet dużo więcej, bo dozwalamy (nie zabroniliśmy, więc dozwalamy), że u i w są równoległe. I jeśli tam jest znak „=”, to mamy tu także twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa!

Akt III. Uniwerstytet

Okazuje się, że wszystkie „dowody” twierdzenia Talesa to było smutne pitolenie, ci ludzie nie wiedzieli o czym mówią. Jeśli krótsze odcinki z obu par są współmierne (stosunek między ich długościami jest taki jak między jakimiś dwoma liczbami naturalnymi) to można rysunek nafaszerować trójkącikami i policzyć, że jest ich w poziomie i w pionie tyle samo. Ale jeśli ten stosunek jest liczbą niewymierną, to adio, pomidory, trzeba aksjomatu o istnieniu kresu górnego w zbiorze ograniczonym czyli aksjomatu o ciągłości prostej. No to prościej założyć twierdzenie Talesa, czyli mamy aksjomat Talesa, równoważny  aksjomatowi o kresie górnym. Oszukiwano biedne dzieci przez tyle lat...

Akt IV. Poziom pracy dyplomowej

(Jeśli uniwersytet był coś wart to uczył tego na wykładzie z teorii grup czy z algebry.)

Twierdzenie Talesa zapisane tak: f(x+y) = f(x)+f(y)  (w elementarnym przypadku f to mnożenie przez skalar) okazuje się prototypem pojęcia homomorfizmu. To jest PraMać wszelkich homo, iso, endo i epi morfizmów. A tak niewinnie to w szkole wyglądało...

Akt V. Poziom doktoratu

Mamy dwie kategorie z morfizmami, powiedzmy algebra z homomorfizmami i topologia z odwzorowaniami ciągłymi. I rozważamy funktor między nimi, który... no niesamowite, ciągle się człowiek grzebie w tym samym twierdzeniu Talesa? To się nigdy nie skończy?

Akt VI. Wrota Nieba

Tak, Św. Piotr potwierdza, że transfer z Ziemi do życia wiecznego jest opisany specyficzną formą aksjomatu Talesa...