Przed dwoma miesiącami pismo zajmujące się uczciwym uczeniem matematyki (Mathematics Magazine) pokazało jak hiszpański matematyk Ángel Plaza rozcina trójkąt na 6 trójkątów równoramiennych. A wszystko sprowadza się do małego rysunku i wpis skończyłby się 8 cm stąd i szkoda by było gdyby się skończyło na wzruszeniu ramionami, że niby co z tego, więc zacznę prawie dwieście lat wcześniej. W ten sposób może uda mi się pokazać jak często coś przenosi się w matematyce z tematyki badawczej do rozrywki, wraca jako pytanie godne uwagi badaczy, znowu idzie do rozrywek, a tak czy inaczej może zaciekawić laików i przydać się w uczeniu matematyki.

Jak to dokładnie było z twierdzeniem Bolyai-Gerwiena (to były dwie bardzo osobne osoby, ale często po jakimś czasie staje się to dla nas obojętne) nie wiemy, ale wydaje się prawdopodobna wersja, że to Wallace je udowodnił w 1807 roku. No ale umówmy się, że Farkas Bolyai zadał takie pytanie:

jeśli mam dwie figury w formie wieloboków, które tyle samo mierzą, czy mogę pociąć jedną tak, żeby z niej złożyć drugą?

a w roku 1833 P.Gerwien odpowiedział „tak”.

(Nie wiem kiedy i gdzie Bolyai zadał to pytanie, nie wiem też czemu Gerwien w takie wpadł zapomnienie, że przypuszczają dzisiaj, że imię „P.” należy rozszyfrować jako „Karl Ludwig”, generał. Nie żartuję.)

Chodzi, rzecz jasna, o pocięcie na skończoną ilość  kawałków. Cięcie na nieskończoną ilość ma dużo sensu, na przykład dawny paradoks Zenona Grecy mogliby  rozwiązać takim pocięciem kwadratu na nieskończenie wiele trójkątów:

Nie, z nieskończonością źle oni sobie radzili.

Twierdzenie o skończonej ilości cięć, nazywane przez Anglików twierdzeniem Wallace'a-Bolyai-Gerwiena, stało się znowu ciekawe gdy w roku 1900 David Hilbert zadał analogiczne pytanie o bryłach wielościennych. Już po roku jego uczeń, Max Dehn, pokazał, że tu nie ma analogii i takie podziały na kawałki mogą nie udać się. Wtedy pojawił się zaskakujący podział trójkąta równobocznego czyniący z niego kwadrat. Tak, ludzie już od 70 lat wiedzieli, że to jest możliwe, ale ten podział był bardzo prosty i z zawiasami (tniemy wzdłuż zielonych linii, w czerwonych punktach umieszczamy zawiasy):

Wymyślił to słynny twórca zagadek i gier logicznych, Henry Dudeney. Łatwo to zmontować jako zabawkę:

Powyższe zdjęcie chlubi się bylejakością wykonania modelu. Chodzi o przekazanie nienowoczesnego przesłania: zapomnij czasami o appletach, java itp, weź karton, spinacze (lub klej), kawałek sznurka i szczęśliwej jazdy. Z pewnością część szczęścia polega na sporej mierze niezależności i gdy odkryjesz, że możesz sobie poradzić z materiałami, które kosztują parę groszy, spojrzysz na swój komputer w nowy sposób a on nie zniesie twojego godnego spojrzenia i mrugnie.

Twierdzenie Bolyai-Gerwiena odżyło w roku 1951, gdy dwóch szwajcarskich matematyków je „ulepszyło”. Ładnie i prosto o tym opowiada Włodzimierz Bołtiański, ale jego książki (Vladimir Boltianskij, Ravnovelikie i ravnosostavlennye figury) chyba nie przetłumaczono na polski.

Słoń a sprawa polska? Jest, jest, i to w wyśmienitym wydaniu. Wynik Dehna prowadzi do słynnego paradoksu Banacha-Tarskiego. Tu też idzie o dwie całkiem osobne osoby. Stefan Banach i Alfred Tarski. Dzieląc kulę na skończoną ilość części i klejąc je można dostać  dwie nowe kule, będące wiernymi kopiami kuli wyjściowej. Ich twierdzenia dowodzi się dla przypadku kul, nie dla bochenków chleba.

Różne były podziały wieloboków, ale jeden z nich stał się tak sławny jak przykład Dudeney'a. W roku 1961 Harry Lindgreen pokazał w piśmie „Scientific American” jak w prosty sposób zrobić niby-tangram, który raz składa się w kwadrat, a raz w sześciobok foremny (który tak się kojarzy misiom z miodem jak pięciokąt foremny ... a, zostawmy to na boku):

Alicja z Krakowa mówi mi, że kiedyś kupiła synowi taką zabawkę wyciętą z drzewa. Robię reklamę taniej matematyki, zachęcam do wydrukowania tego szkicu, przylepienia go na grubą tekturę i wykonanie samemu edukacyjnej zabawki. Pomysł (intelektualny, zgoda?) jest jeszcze świeży, ale nie ma tu kopyrajtów, w świecie niehumanistów panują zdrowsze obyczaje.

No i dzieli nas już tylko 46 lat od obecnego roku. Oto co proponuje Ángel Plaza:

Pomysł jest prosty, tak prosty, że każdy może zadać sobie pytanie: czemu to ja tego nie wymyśliłem? Więc zachęcam do innych, prostych, ale jeszcze nie znanych matematycznych odkryć. Choćby i trójkąty: ile to jeszcze ciekawych rzeczy można o nich powiedzieć...