Słowa w ordynku. Słowa w ataku i w obronie. Pomieszane. Refrakcja słów w stali i w wodzie. Odbicia słowne i zwidy. Ład i gładkość. Spazmy i erupcje. Kojący wpływ soku z passion fruit. Od rzeczy i do rzeczy. Krótko mówiąc. Ostatnie słowo. Na początku był skowyt.
Blog > Komentarze do wpisu
Dzielenie przez zero

Najlepszą metodą obracania przygody z myśleniem
w musztrę jest formułowanie w podstawówce z ponurą
miną a dobitnym głosem jakichś praw albo zasad. Wybór
słowa niejasno sugeruje groźne sankcje dla heretyków
i nagrodę moralnej poprawności dla szanujących prawa.
Oj, głęboko włażą te prawa w podświadomość.

Gdy przychodzi czas buntu, zdrowy organizm odrzuca
wiedzę o 2+2=4. Ciekawe, zastępuje ją na ogół przez 5,
co jest nieciekawą zmianą nazw liczb stojących w kolejce.
Czasami nastaje, że 2+2=100, bo mu to komputer podał,
ale tylko prawdziwie anarchistyczny umysł twierdzi,
że 2+2 równa się 2 lub 1. Ale nawet niedobre dzieci,
palące trawkę i bijące nauczycieli, szanują prawo, że
nie wolno dzielić przez zero.

Jest znakiem czasu, że pytanie „dlaczego?” wywołuje
obronną reakcję „a czego on ode mnie chce?” Myślenie
nie jest w modzie, ale spróbujmy zrobić mu tu małą
promocję. Proszę państwa, dlaczego nie można dzielić
przez 0?
Co stanie się ze śmiałkiem, który to zrobi,
CBA go zwinie i odeśle do Trybunału Matematycznego?
(Bo korupcja praw matematycznych jest zagrożeniem
korzeni naszej cywilizacji.)

Domyślam się, jaka będzie pierwsza próba. Jak dzielę
tort na cztery osoby to ma sens. Nie można go dzielić
pomiędzy nikogo, dzielenie przez zero nie ma sensu.
To
jest popularna tortowa wizja arytmetyki i byłaby dobra
gdyby nie wykładała się na tym, że dzielimy bez wstydu
przez jeden, a przecież do dzielenia w teorii tortowej
trzeba mieć co najmniej dwie osoby. Jak jestem sam to
nic ze sobą nie dzielę a jem mój tort.

Później przypominają się sceny z dzieleniem jedynki
przez pierwiastek z dwóch. Dostaje się jego połowę
i rachunki potwierdzają, że jest ok, choć wiadomo, że
do tortu nigdy nie dobierał się pierwiastek z dwóch
osób.

Nie ma sensu nie jest dobrym argumentem, bo nawet
w tortowej teorii znajdę życiowe sytuacje, w których
widzę jasno, że dzielenie jakiejś liczby przez zero
to tyle co dzielenie jej przez 40 milionów. Skąd ta
ostatnia liczba? A to nieco więcej niż ilość Polaków,
a że my wszyscy to państwo, możemy się umówić, że
jest to symbol państwa czyli nas wszystkich. Otóż
gdy jest spadek i pięciu spadkobierców, to dzieli się
spadek na pięc. Jak jest jeden to on bierze spadek.
A jak nie ma spadkobierców, czyli jest ich zero, to
bierze go państwo czyli dzieli się na nas wszystkich.
No i jak wam się podoba to tortowe rozumowanie?
Tak, niemiłe by było, że dzielenie przez 0 dawało by
w każdym kraju odmienny wynik.

Nie chcę nikogo torturować, ale własny wynalazek jest
słodszy niż wyczytane mądrości, więc proponuję nie
czytać dalej a spróbować samemu dojść do ładu z tym
dzieleniem. Lepsze to niż za chwilę ogłosić: „pchi, to
tylko o to chodzi??”
Nawiasem, wiecie za co Lucyfer
poszedł do piekła? Siódmego dnia stworzenia zerknął
co Pan Bóg wyprawiał, pokiwał głową i mruknął „każdy
mógł to wymyślić...”

Rzecz w tym, że mamy pewne oczekiwania, pierwotnie
uważane za tak oczywiste, że nawet nie wysławiamy
ich. I gdy pojawiają się kłopoty techniczne, staramy
się raz i drugi coś tam poprawić, a gdy się to nie udaje
zastanawiamy się nad tym o co tu naprawdę chodzi –
i uświadamiamy sobie, że coś jest niemożliwe, że
nasze osobno wyrażane życzenia nie mogą być naraz
spełnione. I to jest trudne do przełknięcia dla
osobników naszego gatunku, bo jesteśmy prymatami,
co odrzucają wszelkie ograniczenia. Nasza niezgoda na
niewymierność odcinków w pięcioramiennej gwieździe
kiedyś rozwaliła od wewnątrz jedną z najważniejszych
religii ludzkości: pitagoreizm. Cóż, możemy skutecznie
buntować się przeciw oddaleniu od Księżyca, potrafimy
potupać tam przez parę dni – więc jakbyśmy mieli
pogodzić się z nieistnieniem zbioru wszystkich
zbiorów? Albo z niewyrażalnością przy użyciu liczb
naturalnych długości okręgu wciśniętego w kwadrat
o obwodzie mierzącym 8. I w każdym pokoleniu rosną
buntownicy, którzy zamiast odnosić sukcesy w teoriach
o kosmitach albo o kręgach zbożowych walczą z biednym
pierwiastkiem z dwóch albo z kwadraturą koła. I nie
ma uczelni, która by uznała wartość ich wysiłków.

Ale nawet ci nawiedzeni nie próbują dzielić przez 0.
Ani zakaz „nie zabijaj” nie cieszy się takim szacunkiem.

To jak, opowiedzieć? Dobrze. Po pierwsze, chcemy
mnożyć bez przejmowania się kolejnością. To się
pojawia w opakowaniu z napisem „prawo łączności”.
Prośba łączności, albo życzenie łączności, prawdę
mówiąc.

Po drugie, chcemy, żeby dzielenie „odrabiało” to, co
zrobiło mnożenie, czyli jaka by to nie była liczba
m, jak ją pomnożę przez x i wynik podzielę przez x
to wracam do m. Łatwo to zapiszę jeśli zgodzimy się,
że „dzielić przez x to znaczy to samo co „mnożyć przez
odwrotność
x-a” i ową odwrotność zapiszemy jako y,
czyli ustalamy, że odwrotność dla x-a to taka
liczba y, że yx=1.

A więc y(xm)=(xy)m=1m=m. Bo na to, że mnożenie
przez jeden nie zmienia liczby mamy zgodę, prawda?

Aha, mamy też chyba zgodę, że mnożenie przez zero
zawsze daje zero? Łatwo to dostać z innej zachcianki,
nazywanej
prawem rozdzielności: (a+b)w=aw+bw.
To jest trudne? Z małym elementem oszukiwania mogę
to łatwo wyjaśnić: każdy może sobie narysować trzy
prostokąty. Wszystkie mają wysokość w, natomiast
ich podstawy to a+b, a, b. No i co, pierwszy ma takie
pole jak suma pól dwóch pozostałych? Użyję tego
w tym rachunku: 0m+0m=(0+0)m=0m. Jedyna liczba,
co po dodaniu do siebie jest sobą to 0, więc 0m=0.

No i co byśmy nie przyjęli za odwrotność zera to te
nasze chęci wzajemnie się kłócą. Powiedzmy, że jakieś
magiczne k jest odwrotnością zera. No to liczymy:

m=1m=(k0)m=k(0m)=k0=0. Niedobrze. Nie myślałem
o m=0, mogłem zacząć np. od m=15. Więc coś się
pokićkało i z któregoś z tych moich „praw” (a raczej
z moich chęci) muszę zrezygnować. Albo z łączności
(nie chcę!), albo z rozdzielności (nie chcę!) - no to
już nie mam nic do chcenia, muszę zapomnieć o próbie
wymyślenia magicznego k, odwrotności 0. Ona jest nie
do pogodzenia z innymi chęciami. Kropka.

Czy to nie wstyd, że dorosły matematyk opowiada
takie dyrdymałki o dzieleniu przez zero?
Uprzejmie
odpowiadam, że nie – i że następnym razem (choć
nie wiem kiedy to będzie i czy coś innego nie
przeskoczy kolejki) opowiem parę ponurych historii
o tabliczce mnożenia. Ale z optymistycznym
wydźwiękiem pod tytułem „tabliczka mnożenia nie jest
twoim wrogiem”
.

sobota, 09 czerwca 2007, andsol-br
TrackBack
TrackBack URL wpisu:
Komentarze
2007/06/09 08:50:48
No, no , podoba mi się to. Tez lubię takie zabawy z liczbami, przydaje się to przy pisaniu algorytmów.
Od kilku dni zabieram się do analizy przypadku znalezionego na jednym z blogów. Zajrzyj, moze Cię to też zaciekawi:
romanj.blox.pl/2007/05/Jak-obliczyc-pierwiastek-bez-kalkulatora.html#ListaKomentarzy

Przypadek ciekawy, wcześniej się z tym nie zetknęłam. I teraz mnie męczy, gdyz nie mam czasu aby nad nim popracować, a czały czas o tym myślę.
-
2007/06/09 18:12:23
No, bardzo ładnie z tym zerem, zwłaszcza że ta "cyfra" jest bardzo na czasie w obecnej atmosferze zera tolerancji. Ciekawi mnie jak sobie matematycy radzili z tym dzieleniem, gdy - w Europie świadomość zera była no, chyba zerowa. Bo dopiero mądre Araby przytargały je do Europy, gdzieś około IX stulecia o ile pamiętam.Co było zrem gdy zera nie było? :-o
-
2007/06/09 19:17:07
Marzatela:
Dziękuję za linkę do ciekawego bloga. Chyba za czasów bezkalkulatorowych było to w programie szkolnym. A mój przyjaciel z Floripy zaręcza, że w jego szkole jeszcze uczono czegoś podobnego z pierwiastkiem trzeciego stopnia.

Nie wiem jak głęboko chcesz wdać się w „popracowanie” nad opisaną przez niego metodą – na dnie studni leży użytek dość prostego wzoru (którego nikt w szkole nie uniknie), o kwadracie sumy; chyba tak go tu należy użyć:
(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2.

Dla siebie widzę tam kawałek mięska do ukąszenia: owo pytanie do czego coś tam służy. On całkiem ładnie wybronił się, przypominając, że można policzyć czas mając zależność ustaloną przez Galileusza dla czasu, odległości i przyspieszenia ziemskiego. Ale pozostaje pytanie o inne użytki dla laika - jak i ogólny sens pytań na temat użyteczności matematyki czy fizyki czy...

Jak chyba sama to zauważyłaś, mnie najbardziej pociąga mówienie o matematyce „nie-czystej” chciałbym ułatwić tzw. humanistom uświadomienie sobie, że nie ma odrębnych procesów tworzenia pojęć dla opisu rzeczywistości, jeden dla takich, drugi dla innych. Bo to stąd biorą się przenajróżniejsze „flame wars” i zamiast walczyć w wojnie po słusznej stronie wolę zachęcać do zobaczenia, że cała ta wojna jest bez sensu.

Antrim:
Spróbuję powertować Źródło Białego Człowieka, czyli „A History of Mathematical Notations” by Florian Cajori. Kłopot w tym, że dzis źródło ma szlachetną patynę, ale gdy było młode, specjaliści jest znacznie obsobaczali (pamiętam jakiś artykuł G.A.Millera z początku XX wieku zarzucający p.Cajori bałaganiarstwo i niezrozumienie tekstów). No a dziś wszyscy na niego się powołują.

Więc przed zanurzeniem sieci w Sieć i na półki strzeliłbym, że nie było kłopotu, bo nie było pojęcia, więc niełatwo i raczej przez pomyłkę pojawiałyby się sytuacje, w których nieszczęśnik by dzielił przez zero. Czyli jak to mówią w Waszych dziennikarskich sferach: "no problem, good problem".
-
2007/06/09 20:01:19
Tak , z tego wzoru należy wyjść. Chciałabym jednak ułożyc z tego algorytm.
A jeżeli chodzi o przydatność nauk ścisłych - to w sensie ogólnym - zdolność do logicznego myślenia - i mam tu na myśli logikę w sensie stricte matematycznym.
Kilka lat temu, gdy mój syn w szkole dopiero poznawał początki fizyki - starałam się mu na kazdym kroku pokazywac jej prawa. Idąc z nim na spacer czy nawet po zakupy omawiałam z nim np. przyciąganie ziemskie itp. Fizyka nie jest nauka abstrakcyjną, tylko trzeba umiec to zobaczyć. A matematyka to jakby nie było - królowa nauk. W szkole średniej miałam cudownego fizyka, który uczył nas głównie poprzez rozwiązywanie zadań. Ale nie było łatwo - do końca wszystko na liczbach ogólnych, bez podstawiania wartości. Wynik liczbowy w ogóle się nie liczył, ale do wzoru końcowego trzema było wprowadzić jednostki kazdej wartości i sprawdzić, czy masa nie wyszła np. w metrach. Do dziś uważam, że zawdzięczam mu naprawde bardzo dużo .
-
2007/06/09 20:28:03
Gdybyś odjęła swoim uwagom pean na temat królowej i szczególnego wiązania logiki z matematyką, to bym oklaskał i u dołu ucałował. Ale... Czy znasz jakiś sposób patrzenia na rzeczywistość gdzie dochodzi się nie do rezultatów (bo te prawie zawsze są efektem wizji) a do odsiania sensu od
bezsensu bez udziału logiki? Dziedziny wiedzy (niekoniecznie nauki), w której przekaz może zrezygnować z logiki?

Jeśli zgodzisz się, że to są prawie retoryczne pytania, przyznasz tym, że w logice nie ma nic bardziej ją wiążącego z matematyką niż z jakąś inną dziedziną wymagającą używania myślenia... Ale o tym będzie jeszcze dużo i powoli. (Se Deus quiser, jak tu mawiają ateiści.)
-
2007/06/09 21:42:54
Nie, masz całkowitą rację. Ale miałam bardziej na mysli "trenowanie" logicznego myślenia, które powoduje, ze do pewnych rzeczy dochodzimy szybciej i łatwiej.
A jeżeli chodzi o praktyczne zastosowanie umiejętności matematyczno-fizycznych nabytych w szkole ? Cóż, pomijając arytmetykę przy robieniu zakupów w czystej postaci faktycznie może się nie przydać. Ale są to podstawy - gdyby nie one nie byłoby postępu.
-
Gość: edek47, 220-253-112-176.vic.netspace.net.au
2009/04/30 18:18:28
Zero i nieskonczonosc sa pojeciami abstrakcyjnymi i nieokreslonymii,bez nich jednak matematyka nie istnieje ,SPROWADZA SIE DO LICZENIA NA PALUCHACH.Jezeli JEDNAK uzna sie te pojecia za wartosci liczbowe,TO BEDA ONE WZAJEMNIE od siebie zalezne i korespondujace tylko z jedna liczba naturalna,z liczba jeden.Dla przykladu funkcje trygonometryczne:sin(1/2 pi)= nieskonczonosc/nieskonczonosc=1, ctg(0)=1/0=nieskonczonosc... itp. Pozdrowienia!
-
2009/05/02 03:44:43
@edek47: wybacz niemiłe traktowane miłego gościa, ale wszystko, dokładnie wszystko pokręciłeś. W tej chwili tylko do odkręcenia jednej pomyłki Cię przekonam. Gdyby nie było pojęcia nieskończoności, istniałaby matematyka skończona czyli kombinatoryka - i choć wielu traktowało ją z góry, komputery przyniosły jej renesans i znowu błyszczy bardzo niebanalnymi wynikami. I bardzo odradzam liczenie w kombinatoryce na paluchach czy paluszkach, wyrafinowanie wielu wzorów w niej udowodnionych może przyprawić o zawroty głowy, zerknij do książki zwanej A=B.

O kolejnych nieporozumieniach innego dnia, kiedy będę trochę wolniejszy, ale czy w Twoim pojęciu "3" albo "pies" to pojęcia konkretne, a "0" to pojęcie abstrakcyjne?
-
Gość: edek47, 220-253-25-228.vic.netspace.net.au
2009/05/02 21:01:14
Wszystkie pojecia matematyczne sa abstrakcyjne, a konkretna to moze byc kielbasa na stole.Podajac przyklad kombinatoryki,dzialu matematyki O TERMINOLOGII odbiegajacej odi innych jej dzialow,jest zwyczajnym odwracaniem kota ogonem,na zasadzie'A W AMERYCE MURZYNOW BIJA' i glupim popisywaniem sie posiadana wiedza.W KOMBINATORYCE dla przykladu wystepuje silnia 0!=1,ktora nie ma wiekszego zastosowania w innych dzialach matematyki.JA TEZ NIE MAM CZASU na dyskusje z kims , co zalozyl sobie klapki na oczy i udaje sciane.
-
2009/05/03 00:26:32
Ton rozmowy niezbyt matematyczny i mógłbym wzruszyć ramionami i pójść dalej, ale Twoje używanie nieprzemyślonych (i zapewne niezrozumianych) terminów może utrudnić lekturę innym czytelnikom, więc niestety muszę dopisać parę słów.

Terminologia każdej dziedziny odbiega od innych, to jest cecha dorastania dziedziny, że znajduje swoje własne problemy, metody, nazewnictwo. Trudno orzec jaką rolę miał tu spełnić przykład z silnią zera - i afirmacja o jej zastosowaniach czy jej brakach jest po prostu niedorzeczna.

Wyrażone uprzednio przekonania o jakiejś zależności między (liczbą) zero i symbolem nieskończoności przekazują wiedzę z folkloru o dzieleniu 1 przez nieskończoność. Kłopot w tym, że ∞ nie jest liczbą (naturalną czy całkowitą czy rzeczywistą) więc niby w jakim zbiorze by było to dzielenie? Czyli zwrot "nieskończoność dzielona przez nieskończoność" traktowany dosłownie jest bezsensem, a traktowany przenośnie (jako skrót od wyrażenia: robimy przejście graniczne z licznikiem i mianownikiem zmierzającym do nieskończoności) może dać jakikolwiek wynik, niekoniecznie jedynkę, bo będzie to zależało od funkcji w liczniku i mianowniku. Znany wzór de l'Hospitala pomoże stworzyć przykłady przez całkowanie na różnorodne wyniki.

-
Gość: icc, 77-254-142-163.adsl.inetia.pl
2011/01/02 22:40:29
Ale czy nie uważasz że ta sprawa jest jednak dość nurtująca. Ostatnio leżąc w łóżku zastanawiałem się jak z tym zerem jest i doszedłem do wniosku, że zero to iloczyn jedynki i nieskończoności, wtedy jego odwrotnością była by nieskończoność i wtedy a/0=
=a/1/nieskończoność a zatem a/0*0 = a ( jeden przez nieskończoność się skrócą.
Proszę o odpowiedź.
-
2011/01/02 23:23:49
Służę odpowiedzią: zdania typu zero to iloczyn jedynki i nieskończoności ma tyle uroku jak i naniesionych trudności, co zdanie nieskończoność jest iloczynem dwójki i nosotrzyrożca. I jeśli spytasz mnie co tu robi nosotrzyrożec odpowiem: to samo, co robi tam nieskończoność. Zagubienie w przestrzeni lub kurtuazyjna wizyta? Bo liczbą nie jest a przecież mówimy o mnożeniu i dzieleniu liczb przez liczby.






PT KOMENTATORZY, wiedzcie: wyrzucam (prawie) wszystkie komentarze gdy link z ksywki prowadzi do działań komercjalnych. To jest blog psa ogrodnika: sam nie zarobię tu i innym nie pomogę.